Question

2．如圖所示，在紙面內(nèi)有一條過原點(diǎn)O的虛線MN，MN與x軸正方向的夾角為30°，在MN上有一點(diǎn)A，OA=L，在x軸上有一點(diǎn)C，坐標(biāo)為x_c=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{6}$）L．空間有兩個(gè)方向都垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，虛線MN是它們的理想邊界，區(qū)域Ⅰ的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．在原點(diǎn)O處有一粒子源，可在紙面內(nèi)向區(qū)域Ⅰ發(fā)射質(zhì)量相同、電荷量相同、速率不同的正粒子，正粒子的速度方向與MN的夾角α在0～π的范圍內(nèi)．其中，一入射方向?yàn)棣?30°、速度大小為v₀的粒子射入?yún)^(qū)域Ⅰ，從A點(diǎn)第一次進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅱ，從C點(diǎn)第一次穿過x軸．不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力．
（1）求區(qū)域Ⅱ中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂；
（2）速度方向與MN的夾角α=30°的所有粒子中，有些粒子能夠通過A點(diǎn)，求這些粒子的速度大小；
（3）粒子源射出的所有粒子中，有些粒子不能穿過x軸，求這些粒子的速度方向與MN的夾角α應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）作出粒子在兩磁場中的運(yùn)動軌跡，根據(jù)半徑公式和幾何關(guān)系求出區(qū)域Ⅱ中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大�。�
（2）通過幾何關(guān)系求出運(yùn)動的軌道半徑，結(jié)合半徑公式求出粒子的速度大小，注意需考慮粒子從磁場Ⅰ向Ⅱ運(yùn)動穿過A點(diǎn)，還有從從磁場Ⅱ向Ⅰ運(yùn)動穿過A點(diǎn)．
（3）抓住粒子不能穿過x軸，結(jié)合粒子在磁場區(qū)域Ⅱ的軌道半徑，結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子的速度方向與MN的夾角α應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）當(dāng)α=30°時(shí)，設(shè)速度為v₀的粒子在磁場Ⅰ和Ⅱ中做圓周運(yùn)動的圓心分別為O₁、O₂，軌道半徑分別為r₁₀、r₂₀，
由牛頓第二定律：${r_{10}}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_{\;}}}}$①，${r_{20}}=\frac{{m{v_0}}}{{q{B_2}}}$②
粒子從A點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入磁場Ⅱ，在直角△O₁AD中：${r}_{10}=\frac{L}{2sin30°}=L$③
在直角△O₂CE中：$r_{20}^2={（{r_{20}}-\frac{L}{2}）^2}+{（{x_C}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}L）^2}$④
由④解得：${r_{20}}=\frac{2}{3}L$
由①②③④解得：${B_2}=\frac{3}{2}B$，$\frac{m}{q}=\frac{BL}{v_0}$⑤
（2）當(dāng)α=30°時(shí)，速率為v的粒子在磁場Ⅰ和Ⅱ中做圓周運(yùn)動的半徑分別為r₁、r₂，
由半徑公式：${r_1}=\frac{mv}{qB}$，${r_2}=\frac{mv}{{q{B_2}}}$
解得：${r_2}=\frac{2}{3}{r_1}$⑥
ⅰ．若粒子從磁場Ⅰ向Ⅱ運(yùn)動穿過A點(diǎn)，由幾何關(guān)系：L=nr₁-（n-1）r₂⑦
聯(lián)立解得：$v=\frac{{3{v_0}}}{n+2}，（n=1，2…）$
ⅱ．若粒子從磁場Ⅱ向Ⅰ運(yùn)動穿過A點(diǎn)，由幾何關(guān)系：L=n（r₁-r₂）⑧
聯(lián)立解得：$v=\frac{{3{v_0}}}{n}，（n=1，2…）$
（3）設(shè)粒子在磁場Ⅰ和Ⅱ中做圓周運(yùn)動的圓心分別為O₃、O₄，
由幾何關(guān)系：OP=2r₁sinα
PG=OPsin30°，∠O₄PG=α-30°
PG≥r₂+r₂cos（α-30°）
聯(lián)立解得：$sinα≥1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosα$
故：α≥90°
答：（1）區(qū)域Ⅱ中磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{3}{2}$B；
（2）這些粒子的速度大小為$\frac{3{v}_{0}}{n+2}$，（n=1，2…）或$\frac{3{v}_{0}}{n}$，（n=1，2…）；
（3）這些粒子的速度方向與MN的夾角α應(yīng)滿足的條件為α≥90°．

點(diǎn)評 帶電粒子通過磁場的邊界時(shí)，如果邊界是直線，根據(jù)圓的對稱性得到，帶電粒子入射速度方向與邊界的夾角等于出射速度方向與邊界的夾角，這在處理有界磁場的問題常常用到．本題難度較大，是試卷中的壓軸題