Question

14．如圖所示，固定于豎直面內(nèi)的粗糙斜桿，與水平方向夾角為30°．質(zhì)量為m的小球套在桿上，在拉力F的作用下，小球沿桿由底端勻速運(yùn)動(dòng)至頂端．已知小球與斜桿之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則關(guān)于拉力F的大小及其做功情況，下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 當(dāng)α=30°時(shí)，拉力F最小
• B． 當(dāng)α=60°時(shí)，拉力F做功最少
• C． 當(dāng)α=60°時(shí)，拉力F最小
• D． 當(dāng)α=90°時(shí)，拉力F做功最少

Answer 1

分析 對(duì)小球受力分析，根據(jù)受力平衡列方程，然后結(jié)合數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)求F的最小值，解本題的突破口為找到使拉力做功最小的條件，為此要分析小球受到的各個(gè)力及做功情況：重力做負(fù)功，彈力不做功，拉力F做正功，又因小球做勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能的變化為零，那么只要摩擦力不做功（即摩擦力為零），則拉力F做功最小，然后正交分解小球受到的各力，列力的平衡方程解答即可求出答案．

解答 解：小球勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件，在沿桿方向上有：
Fcosα=mgsin30°+μ（mgcos30°-Fsinα）
整理得：Fcosα+μFsinα=mg
F=$\frac{1}{cosα+μsinα}$•mg
由數(shù)學(xué)知識(shí)知當(dāng)cosα+μsinα最大值為$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$
此時(shí)arctan$\frac{1}{μ}$=60° 則α=90°-60°=30°，故A正確，C錯(cuò)誤；
B、小球勻速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理得；W_F-W_f-W_G=0
要使拉力做功最小則W_f=0，即摩擦力為0，則支持力為0．
分析小球受的各力然后正交分解列方程：
垂直斜面方向：Fsinα=mgcos30°
沿斜面方向：Fcosα=mgsin30°
解以上兩方程得：α=60°，F(xiàn)=mg，故B正確D錯(cuò)誤，；
故選：AB

點(diǎn)評(píng) 本題考查了受力分析以及正交分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求極值．通過(guò)分析小球的受力及各力做功情況，再結(jié)合動(dòng)能定理得出拉力F做功最小時(shí)摩擦力為零．