Question

12．某電視臺“快樂向前沖”節(jié)目的場地設(shè)施如圖所示，AB為水平直軌道，上面安裝有電動懸掛器，可以載人運(yùn)動，水面上漂浮著一個(gè)半徑為R，角速度為ω，鋪有海綿墊的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤的軸心離平臺的水平距離為L，平臺邊緣與轉(zhuǎn)盤平面的高度差為H．選手抓住懸掛器可以在電動機(jī)的帶動下，從A點(diǎn)下方的平臺邊緣處沿水平方向做初速度為零，加速度為a的勻加速直線運(yùn)動．選手必須作好判斷，在合適的位置釋放手，才能順利落在轉(zhuǎn)盤上．設(shè)人的質(zhì)量為m（不計(jì)身高），人與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為μmg．
（1）假設(shè)選手落到轉(zhuǎn)盤上瞬間相對轉(zhuǎn)盤速度立即變?yōu)榱�，為保證他落在任何位置都不會滑動，轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)限制在什么范圍？
（2）若選手從某處C點(diǎn)釋放能恰好落到轉(zhuǎn)盤的圓心上，求懸掛器從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間．已知H=5m，L=8m，a=$\frac{2}{3}$m/s²，（g取10m/s²）．
（3）當(dāng)選手從A點(diǎn)開始運(yùn)動時(shí)，盤邊緣上P點(diǎn)剛好在最右端，問電動機(jī)產(chǎn)生的加速度a取哪些值，人可以落在P點(diǎn)？已知H=5m，L=8m，R=1m，ω=3.14rad/s，π取3.14，g取10m/s²．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)靜摩擦力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律求出轉(zhuǎn)盤角速度的范圍．
（2）抓住平拋運(yùn)動的水平位移和勻加速直線運(yùn)動的位移等于L，結(jié)合位移公式和速度公式求出勻加速運(yùn)動的時(shí)間．
（3）結(jié)合（2）的分析，根據(jù)落在P點(diǎn)時(shí)，可能在O點(diǎn)的右側(cè)，有可能在O點(diǎn)的左側(cè)，結(jié)合速度位移公式即可求出．

解答 解：（1）設(shè)人落在距圓心最遠(yuǎn)R處不至被甩下，最大靜摩擦力提供向心力，則有：
μmg≥mω²•R
即轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度滿足ω≤$\sqrt{\frac{μg}{R}}$
（2）沿水平加速段位移為x₁，時(shí)間為t₁；平拋運(yùn)動的水平位移為x₂，時(shí)間為t₂．
則加速時(shí)有${x}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
v=at₁
平拋運(yùn)動階段x₂=vt₂
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
全程水平方向：x₁+x₂=L；
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立各式解得t₁=4s，t₂=1s．
（3）當(dāng)P在最右側(cè)時(shí)：t=$\frac{2nπ}{ω}=2n$，
$\frac{1}{2}a（t-{t}_{2}）^{2}+a（t-{t}_{2}）•{t}_{2}=L+R$
聯(lián)立得：a=$\frac{18}{4{n}^{2}-1}$（n=1，2，3…）
當(dāng)P在最左側(cè)時(shí)，t=$\frac{（2n-1）π}{ω}=2n-1$
$\frac{1}{2}a{（t-{t}_{2}）}^{2}+a（t-{t}_{2}）•{t}_{2}=L-R$
聯(lián)立得：a=$\frac{7}{2{n}^{2}-2n}$（n=2，3，4…）
答：（1）假設(shè)選手落到轉(zhuǎn)盤上瞬間相對轉(zhuǎn)盤速度立即變?yōu)榱�，為保證他落在任何位置都不會滑動，轉(zhuǎn)盤的角速度ω應(yīng)；
（2）若選手從某處C點(diǎn)釋放能恰好落到轉(zhuǎn)盤的圓心上，懸掛器從A點(diǎn)運(yùn)動到C點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間是4s．
（3）當(dāng)選手從A點(diǎn)開始運(yùn)動時(shí)，盤邊緣上P點(diǎn)剛好在最右端，電動機(jī)產(chǎn)生的加速度a取$\frac{18}{4{n}^{2}-1}$（n=1，2，3…）或$\frac{7}{2{n}^{2}-2n}$（n=2，3，4…）時(shí)人可以落在P點(diǎn)．

點(diǎn)評 該題屬于單物體多過程的情況，解決本題的關(guān)鍵理清選手的運(yùn)動過程，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式靈活求解．