Question

3．如圖所示，某空間中有四個方向垂直于紙面向里磁感應強度的大小相同的、半徑為R的圓形勻強磁場區(qū)域1、2、3、4．其中1與4相切，2相切于1和3，3相切于2和4，且第1個磁場區(qū)域和第4個磁場區(qū)域的豎直方向的直徑在一條直線上．一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子，靜止置于電勢差為U₀的帶電平行板（豎直放置）形成的電場中（初始位置在負極板附近），經(jīng)過電場加速后，從第1個磁場的最左端水平進入，并從第3個磁場的最下端豎直穿出．已知tan22.5°=0.4，不計帶電粒子的重力．
（1）求帶電粒子進入磁場時的速度大�。�
（2）試判斷：若在第3個磁場的下面也有一電勢差為U₀的帶電平行板（水平放置，其小孔在第3個磁場的最下端的正下方）形成的電場，帶電粒子能否按原路返回？請說明原因．
（3）求勻強磁場的磁感應強度B．
（4）若將該帶電粒子自該磁場中的某個位置以某個速度釋放后恰好可在四個磁場中做勻速圓周運動，則該粒子的速度大小v′為多少？

Answer 1

分析 （1）對于平行板加速過程，運用動能定理求解帶電粒子進入磁場時的速度大�。�
（2）不能按原路返回，因為粒子進入第3個磁場下的電場后，向下減速至速度為零，然后反向加速至速度的大小為v，進入磁場后，根據(jù)左手定則判斷知，帶電粒子受到的洛倫茲力方向向右，粒子向右偏轉(zhuǎn)．
（3）畫出粒子的運動軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，再由牛頓第二定律求磁感應強度B．
（4）該帶電粒子在四個磁場中做勻速圓周運動，如圖乙所示，由幾何關(guān)系知其半徑等于R．再由牛頓第二定律求v′．

解答 解：（1）在加速電場中，根據(jù)動能定理有：
  qU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
（2）不能按原路返回，因為粒子進入第3個磁場下的電場后，向下減速至速度為零，然后反向加速至速度的大小為v，但進入磁場后，根據(jù)左手定則可知，帶電粒子受到的洛倫茲力方向向右，粒子向右偏，故不能按原路返回．
（3）設(shè)帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為r，如圖甲所示，則根據(jù)幾何關(guān)系可得：
  R=rtan22.5°=0.4r
解得：r=2.5R

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{2}{5R}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
（4）該帶電粒子在四個磁場中做勻速圓周運動，如圖乙所示，由幾何關(guān)系知其半徑只能是R．

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$
解得：v′=$\frac{2}{5}$$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
答：（1）帶電粒子進入磁場時的速度大小為$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$．
（2）帶電粒子不能按原路返回，理由見上．
（3）勻強磁場的磁感應強度B為$\frac{2}{5R}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$．
（4）該粒子的速度大小v′為$\frac{2}{5}$$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵要畫出帶電粒子在磁場中的運動軌跡，要會確定半徑、定圓心，運用幾何知識求軌跡的半徑．