Question

3．如圖所示，某空間中有四個(gè)方向垂直于紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小相同的、半徑為R的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域1、2、3、4．其中1與4相切，2相切于1和3，3相切于2和4，且第1個(gè)磁場區(qū)域和第4個(gè)磁場區(qū)域的豎直方向的直徑在一條直線上．一質(zhì)量為m、電荷量為-q的帶電粒子，靜止置于電勢差為U₀的帶電平行板（豎直放置）形成的電場中（初始位置在負(fù)極板附近），經(jīng)過電場加速后，從第1個(gè)磁場的最左端水平進(jìn)入，并從第3個(gè)磁場的最下端豎直穿出．已知tan22.5°=0.4，不計(jì)帶電粒子的重力．
（1）求帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大�。�
（2）試判斷：若在第3個(gè)磁場的下面也有一電勢差為U₀的帶電平行板（水平放置，其小孔在第3個(gè)磁場的最下端的正下方）形成的電場，帶電粒子能否按原路返回？請說明原因．
（3）求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（4）若將該帶電粒子自該磁場中的某個(gè)位置以某個(gè)速度釋放后恰好可在四個(gè)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則該粒子的速度大小v′為多少？

Answer 1

分析 （1）對于平行板加速過程，運(yùn)用動(dòng)能定理求解帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小．
（2）不能按原路返回，因?yàn)榱Ｗ舆M(jìn)入第3個(gè)磁場下的電場后，向下減速至速度為零，然后反向加速至速度的大小為v，進(jìn)入磁場后，根據(jù)左手定則判斷知，帶電粒子受到的洛倫茲力方向向右，粒子向右偏轉(zhuǎn)．
（3）畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識求出軌跡半徑，再由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（4）該帶電粒子在四個(gè)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖乙所示，由幾何關(guān)系知其半徑等于R．再由牛頓第二定律求v′．

解答 解：（1）在加速電場中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
  qU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
（2）不能按原路返回，因?yàn)榱Ｗ舆M(jìn)入第3個(gè)磁場下的電場后，向下減速至速度為零，然后反向加速至速度的大小為v，但進(jìn)入磁場后，根據(jù)左手定則可知，帶電粒子受到的洛倫茲力方向向右，粒子向右偏，故不能按原路返回．
（3）設(shè)帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，如圖甲所示，則根據(jù)幾何關(guān)系可得：
  R=rtan22.5°=0.4r
解得：r=2.5R

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{2}{5R}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$
（4）該帶電粒子在四個(gè)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖乙所示，由幾何關(guān)系知其半徑只能是R．

根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$
解得：v′=$\frac{2}{5}$$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
答：（1）帶電粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度大小為$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$．
（2）帶電粒子不能按原路返回，理由見上．
（3）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{2}{5R}$$\sqrt{\frac{2m{U}_{0}}{q}}$．
（4）該粒子的速度大小v′為$\frac{2}{5}$$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵要畫出帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)軌跡，要會確定半徑、定圓心，運(yùn)用幾何知識求軌跡的半徑．