Question

17．如圖，一質(zhì)量M=1kg的足夠長薄木板正在水平地面上滑動，當(dāng)其速度為v₀=5m/s時將一質(zhì)量m=1kg小鐵塊（可視為質(zhì)點）無初速地輕放到木板的A端；已知薄木板與小鐵塊間的動摩撅因數(shù)μ₁=0.2，薄木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.3，g=10m/s²．求：
（1）小鐵塊放到薄木板后瞬間鐵塊和木板的加速度大小a₁、a₂；
（2）當(dāng)小鐵塊速度剛好減小到零時，小鐵塊到A端的距離．

Answer 1

分析 （1）對M、m分別進行受力分析，根據(jù)牛頓第二定律求加速度
（2）剛開始小鐵塊相對于木板向左運動，速度相等以后相對于木板向右運動，最后M停止，m繼續(xù)向右運動直到速度為0，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式分過程求解．

解答 解：（1）小鐵塊放到薄木板后瞬間，對小鐵塊和薄木板進行受力分析如圖，根據(jù)牛頓第二定律，有
對小鐵塊${f}_{1}^{\;}={μ}_{1}^{\;}mg=m{a}_{1}^{\;}$①
對薄木板：${f}_{1}^{'}+{f}_{2}^{\;}=M{a}_{2}^{\;}$②
即μ${\;}_{1}^{\;}mg+{μ}_{2}^{\;}（M+m）g=M{a}_{2}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)解得${a}_{1}^{\;}=2m/{s}_{\;}^{2}$
${a}_{2}^{\;}=8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）設(shè)經(jīng)過時間t，M、m的速度相等
${a}_{1}^{\;}t={v}_{0}^{\;}-{a}_{2}^{\;}t$
代入數(shù)據(jù)解得t=0.5s
速度相等時v=1m/s
這段時間內(nèi)m的位移${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}=0.25m$
M的位移${x}_{2}^{\;}={v}_{0}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=1.5m$
m相對于M向左運動$△x={x}_{2}^{\;}-{x}_{1}^{\;}=1.25m$=$\frac{5}{4}m$
速度相等后，假設(shè)M、m相對靜止，一起勻減速運動，加速度為${a}_{3}^{\;}$
${μ}_{2}^{\;}（M+m）g=（M+m）{a}_{3}^{\;}$
${a}_{3}^{\;}={μ}_{2}^{\;}g=3m/{s}_{\;}^{2}$
m不可能與M相對靜止，因為${μ}_{1}^{\;}g＜{a}_{3}^{\;}$
所以m繼續(xù)向右勻減速運動，設(shè)經(jīng)過時間t'速度減為0
$t'=\frac{v}{{a}_{1}^{\;}}=\frac{1}{2}s$
對M${μ}_{2}^{\;}（M+m）g-{μ}_{1}^{\;}mg=M{a}_{2}^{′}$
解得${a}_{2}^{′}=4m/{s}_{\;}^{2}$
M經(jīng)過t″速度減為0
$t″=\frac{v}{{a}_{2}^{′}}=\frac{1}{4}s$
m的位${x}_{1}^{′}=vt″-\frac{1}{2}{a}_{1}^{′}t{″}_{\;}^{2}=\frac{3}{16}m$
M的位移${x}_{2}^{′}=vt″-\frac{1}{2}{a}_{2}^{′}t{″}_{\;}^{2}=\frac{1}{8}m$
m相對于M向右運動$△x′={x}_{1}^{′}-{x}_{2}^{′}=\frac{1}{16}m$
經(jīng)$\frac{1}{4}s$時m的速$v′=v-{a}_{1}^{′}t″=\frac{1}{2}m/s$
M停止后m繼續(xù)勻減速直到停止${x}_{1}^{″}=\frac{v{′}_{\;}^{2}}{2{a}_{1}^{′}}=\frac{（\frac{1}{2}）_{\;}^{2}}{2×2}=\frac{1}{16}m$
小鐵塊到A端的距離$l=△x-△x′-{x}_{1}^{″}=\frac{5}{4}-\frac{1}{16}-\frac{1}{16}=\frac{9}{8}$m
答：（1）小鐵塊放到薄木板后瞬間鐵塊和木板的加速度大小分別為$2m/{s}_{\;}^{2}$、$8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）當(dāng)小鐵塊速度剛好減小到零時，小鐵塊到A端的距離$\frac{9}{8}m$．

點評 本題考查牛頓第二定律和運動學(xué)公式的綜合運用，關(guān)鍵是受力分析，分析清楚物體的運動的情景．