Question

11．建筑工地上常用的一種“深穴打夯機(jī)”如圖所示，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)滾輪始終勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)夯桿在深穴底時(shí)，兩個(gè)滾輪緊壓夯桿，依靠摩擦力將夯桿提上來(lái)，在夯桿下端達(dá)到深穴口前，兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)，使夯桿下端與地面相平時(shí)，速度正好為零；然后，夯桿在自身重力的作用下落回深坑，夯實(shí)坑底；兩個(gè)滾輪再次壓緊，夯桿再次被提上來(lái)，如此循環(huán)運(yùn)動(dòng)．已知兩個(gè)滾輪邊緣的速度相同為v=3m/s，每個(gè)滾輪對(duì)夯桿的正壓力N=3.25×10⁴ N，滾輪和夯桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，夯桿的質(zhì)量m=2×10³kg，坑深h=13.95m．假定在打夯的過(guò)程中坑的深度變化不大，可以視為不變．取g=10m/s²．求：
（1）夯桿加速上升過(guò)程中加速度的大��；
（2）兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)時(shí)，夯桿下端到坑底的距離；
（3）一個(gè)完整的上升下降過(guò)程，夯桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）先求出夯桿受到的摩擦力，從而求出夯桿向上勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度．
（2）由速度位移關(guān)系公式求得夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時(shí)夯的底端離坑底的高度h₁；再分析夯桿上升過(guò)程的運(yùn)動(dòng)情況，從而確定兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)時(shí)，夯桿下端到坑底的距離；
（3）根據(jù)（2）問(wèn)的分析，分勻加速上升、勻速上升和勻減速上升以及自由下落四段求一個(gè)完整的上升下降過(guò)程夯桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）夯桿在上升過(guò)程中，對(duì)夯桿進(jìn)行受力分析知，夯桿所受摩擦力為：
    f₁=2μN(yùn)=2×0.4×3.25×10⁴ N=2.6×10⁴N；
夯桿產(chǎn)生加速度為：a₁=$\frac{{f}_{1}-mg}{m}$=$\frac{{f}_{1}}{m}$-g=$\frac{2.6×1{0}^{4}}{2×1{0}^{3}}$-10=3m/s²
（2）當(dāng)夯桿與滾輪相對(duì)靜止時(shí)，有 v=a₁t₁=3m/s，得：t₁=1s
勻加速過(guò)程夯桿上升的高度 h₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}×3×{1}^{2}$=1.5m
當(dāng)夯桿以v=3m/s的初速度豎直上拋后，繼續(xù)上升的高度為：h₂=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{{3}^{2}}{20}$=0.45m
所以當(dāng)夯桿加速向上運(yùn)動(dòng)速度到達(dá)v=3m/s后，夯桿勻速上升，勻速上升高度為：h₃=h-h₁-h₂=13.95m-1.5m-0.45m=12m
因此，夯桿先勻加速上升，后勻速上升，再豎直上拋．故兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)時(shí)，夯桿下端到坑底的距離為：△h=13.95m-0.45m=13.5m．
（3）夯桿豎直上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{v}{g}$=$\frac{3}{10}$=0.3s；
夯桿勻速上升的時(shí)間為：t₃=$\frac{{h}_{3}}{v}$=$\frac{12}{3}$=4s；
由h=$\frac{1}{2}$gt₄²可得夯桿從最高點(diǎn)開(kāi)始自由下落的時(shí)間為：t₄=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×13.95}{10}}$≈1.67s
故打夯周期為：T=t₁+t₂+t₃+t₄=1+0.3+4+1.67=6.97s
答：（1）夯桿加速上升過(guò)程中加速度的大小是3m/s²；
（2）兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)時(shí)，夯桿下端到坑底的距離是13.5m；
（3）一個(gè)完整的上升下降過(guò)程，夯桿的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是6.97s．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是分析求出夯桿的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式邊計(jì)算邊分析，要注意抓住各個(gè)過(guò)程之間的聯(lián)系，如速度關(guān)系、位移關(guān)系等．