Question

14．如圖所示，x軸上方以原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在x軸（-R，R）下方的區(qū)域內(nèi)存在方向與y軸相同的勻強(qiáng)電場(chǎng)．y軸下方的A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為d，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力作用．
（1）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E，求E；
（2）若電場(chǎng)強(qiáng)度變化為第（1）問(wèn)E的$\frac{2}{3}$，求粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后到達(dá)x軸時(shí)的坐標(biāo)；并求粒子從A點(diǎn)出發(fā)到該位置的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中加速，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用動(dòng)能定理與牛頓第二定律可以求出電場(chǎng)強(qiáng)度E．
（2）分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求出粒子在各階段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出粒子總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得：qEd=$\frac{1}{2}$mv²，
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{v2}{r}$，
粒子之后恰好不再經(jīng)過(guò)x軸，則離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸平行，運(yùn)動(dòng)情況如圖①所示，
由幾何知識(shí)得：R=$\sqrt{2}$r，
解得：E=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（2）將E′=$\frac{2}{3}$E代入E=$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r=$\frac{R}{\sqrt{3}}$，
粒子運(yùn)動(dòng)情況如圖②，圖中的角度α、β滿(mǎn)足：cosα=$\frac{R/2}{r}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即：α=30°，β=2α=60°，
粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為：x=r+$\frac{r}{cosβ}$，
解得：x=$\sqrt{3}$R．
粒子在磁場(chǎng)中的速度：v=$\frac{qBR}{\sqrt{3}m}$，
電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\frac{2\sqrt{3}md}{qBR}$，
磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{2πm}{3qB}$，
出磁場(chǎng)后到X軸時(shí)間為：t₃=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$，
從A點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是：t=t₁+t₂+t₃=（$\frac{2\sqrt{3}d}{R}$+$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$；
答：（1）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E，E為$\frac{q{B}^{2}{R}^{2}}{4md}$；
（2）若電場(chǎng)強(qiáng)度變化為第（1）問(wèn)E的$\frac{2}{3}$，求粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后到達(dá)x軸時(shí)的坐標(biāo)為：（$\sqrt{3}$R，0），粒子從A點(diǎn)出發(fā)到該位置的時(shí)間為（$\frac{2\sqrt{3}d}{R}$+$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$）$\frac{m}{qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的關(guān)鍵，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律可以解題．