Question

6．如圖所示，光滑且足夠長的平行金屬導軌MN和PQ固定在同一水平面上，兩導軌間距離L=0.2m，電阻R₁=0.4Ω，導軌上靜止放置一質(zhì)量m=0.1kg，電阻R₂=0.1Ω的金屬桿ab，導軌電阻忽略不計，整個裝置處在磁感應(yīng)強度B₁=0.5T的勻強磁場中，磁場的方向豎直向下，現(xiàn)用一外力F沿水平方向拉桿ab，使之由靜止開始運動，最終以8m/s的速度做勻速直線運動．若此時閉合開關(guān)S，釋放的α粒子經(jīng)加速電場C加速從d孔對著圓心O進入半徑r=$\sqrt{3}m$的固定圓筒中（筒壁上的小孔d只能容一個粒子通過），圓筒內(nèi)有垂直水平面向下的磁感應(yīng)強度為B₂的勻強磁場，α粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞均無電荷遷移，也無機械能損失．（α粒子質(zhì)量m≈6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C）．求：
（1）ab桿做勻速直線運動過程中，外力F的功率；
（2）若α粒子與圓筒壁碰撞5次后恰又從d孔背離圓心射出，忽略α粒子進入加速電場的初速度，求磁感應(yīng)強度B₂．

Answer 1

分析 （1）ab桿做勻速直線運動過程中，外力F與安培力二力平衡，推導出安培力表達式，即可求得外力的大小，由P=Fv求出功率．
（2）根據(jù)歐姆定律求出加速電場的電壓，由動能定理求出α粒子進入磁場的速度．若α粒子與圓筒壁碰撞5次后恰又從a孔背離圓心射出，則粒子與圓筒的碰撞點和a點將圓筒6等分，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強度B₂．

解答 解：（1）當ab桿勻速運動時，F(xiàn)_外=F_B   ①
F_B=B₁IL   ②
I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$③
E=B₁L v     ④
P=F_外v       ⑤
聯(lián)立①～⑤得P=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$ ⑥
將已知條件代入上式得P=1.28W
（2）此時回路電流強度為 I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
加速電場的電壓為 U=IR₁ 
根據(jù)動能定理：q_αU=$\frac{1}{2}$m_αv²-0
α粒子從a孔進入磁場的速度 v=$\sqrt{\frac{2{q}_{α}U}{{m}_{α}}}$
由題意知：α粒子與圓筒壁碰撞5次后從a孔離開磁場，
由幾何關(guān)系求得∠d O b=60°
軌跡半徑R'=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r=1.0 m
又 qαvB₂=m_α $\frac{{v}^{2}}{R′}$
解得：B₂=1.6×10^-4 T
答：
（1）ab桿做勻速直線運動過程中，外力F的功率為1.28W；
（2）磁感應(yīng)強度B₂為1.6×10^-4T．

點評 本題中金屬桿的運動與汽車恒定功率起動類似，要會用動力學方法分析桿的運動情況．對于第2問，還可以研究帶電粒子與圓筒碰撞n次的情況．