Question

3．如圖所示，擺長(zhǎng)L=1m的小球A（質(zhì)量為m_A）由平衡位置O拉倒其懸線與豎直方向α=5°角，由靜止釋放，A球下擺時(shí)與靜止在其平衡位置O點(diǎn)處的B球（質(zhì)量為m_B）發(fā)生正碰，碰撞后兩球速率相等，且等于碰前A球速度的$\frac{1}{3}$．碰撞后A球倍彈回，B球向右在光滑水平軌道上運(yùn)動(dòng)，后又滑上傾角為30°的足夠長(zhǎng)的光滑斜軌道．（取g=10m/s²，π=$\sqrt{g}$，cos5°=0.9875，B球經(jīng)過(guò)水平面和斜面的交點(diǎn)處時(shí)無(wú)機(jī)械能的損失，不計(jì)空氣阻力）求：
（1）若無(wú)B球，A求被釋放后作單擺運(yùn)動(dòng)，求單擺的周期T；
（2）A與B碰前的瞬間繩對(duì)A的拉力是A球重力的多少倍
（3）若B為帶正電的絕緣球（AB碰撞時(shí)B的電荷量不變），電荷量為q，在斜面處有沿斜面向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E=$\frac{{m}_{B}g}{4q}$，水平光滑軌道的長(zhǎng)度x滿足什么條件才能使小球B從斜面上返回后正好與小球A在平衡位置O點(diǎn)處迎面相碰．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單擺周期公式可以求出A的周期．
（2）由機(jī)械能守恒定律可以求出A到達(dá)底端的速度，由牛頓第二定律可以求出繩子的拉力，然后求出拉力與重力的倍數(shù)關(guān)系．
（3）根據(jù)單擺的運(yùn)動(dòng)周期公式和時(shí)間關(guān)系找B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)B球運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解軌道的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）單擺的周期：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$=2s；
（2）A下擺過(guò)程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m_Av_A²=m_AgL（1-cos5°），
解得：v_A=0.5m/s，
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F-m_Ag=m_A$\frac{{v}_{A}^{2}}{L}$，
解得：F=1.025m_Ag，
則：$\frac{F}{{m}_{A}g}$=1.025；
（3）由題意可知，A、B兩球碰撞后，B球的速度：
v_B=$\frac{1}{3}$v_A=$\frac{1}{6}$m/s，
B與A要在O點(diǎn)要迎面碰撞，要經(jīng)歷的時(shí)間為：
t=nT+$\frac{1}{2}$T（n=0，1，2，3，…）
T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，即t=（2n+1）π$\sqrt{\frac{L}{g}}$=（2n+1）s   n=0、1、2、3、…，
由牛頓第二定律得，B在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大�。�
a=$\frac{{m}_{B}gsin30°-qE}{{m}_{B}}$=2.5m/s²，
B碰撞后回到A點(diǎn)的時(shí)間為t=$\frac{2x}{{v}_{B}}$+$\frac{2{v}_{B}}{a}$，
解得：x=（$\frac{n}{6}$+$\frac{13}{180}$）m    n=0、1、2、3、…
答：（1）若無(wú)B球，A求被釋放后作單擺運(yùn)動(dòng)，單擺的周期T為2s；
（2）A與B碰前的瞬間繩對(duì)A的拉力是A球重力的1.025倍．
（3）軌道的長(zhǎng)度x滿足條件：x=（$\frac{n}{6}$+$\frac{13}{180}$）m    n=0、1、2、3、…，才能使小球B從斜面上返回后正好與小球A在平衡位置O點(diǎn)處迎面相碰．

點(diǎn)評(píng) 此題的關(guān)鍵是找到兩個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間關(guān)系，并能熟練應(yīng)用動(dòng)能定理和單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式以及勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．