Question

6．位于豎直平面內的光滑軌道由三部分組成：中間部分水平，左、右兩側均為與水平部分相切的半徑相同的半圓形狀，其中左側的半圓形由薄壁內部光滑的細圓管彎成，右側的半圓形由光滑凹槽彎成，兩個切點分別為M和N，如圖所示．用一根輕細線連接a、b兩個小球，中間夾住一輕質彈簧，整個裝置靜置于水平部分．現(xiàn)在突然剪斷細線，a、b兩個小球離開彈簧后才進入半圓軌道，而且都是恰好能到達左右軌道的最高點．（已知薄壁細圓管的內徑稍大于小球a的直徑，遠小于半圓形的半徑R）．下列說法正確的是（　�。�

• A． 剛脫離彈簧時小球a的速度小于小球b的速度
• B． 剛脫離彈簧時小球a的動能大于小球b的動能
• C． 小球a剛通過M點時對軌道的壓力小于小球b剛通過N點時對軌道的壓力
• D． 小球a到達最高點時對軌道的壓力小于小球b到達最高點時對軌道的壓力

Answer 1

分析 a球恰好能到達左軌道的最高點時速度為零，b球恰好能到達右軌道的最高點時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出b球到達右軌道最高點的速度，再由機械能守恒定律列式，求出剛脫離彈簧時兩球的速度和動能．由牛頓定律研究小球對軌道的壓力．

解答 解：A、a球恰好能到達左軌道的最高點時速度為零，從脫離彈簧到左軌道最高點的過程，由機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$=2m_agR，得：v_a=2$\sqrt{gR}$．
b球恰好能到達右軌道的最高點時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律得：m_bg=m_b$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$．
b球從脫離彈簧到左軌道最高點的過程，由機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}$=2m_bgR+$\frac{1}{2}{m}_{v}_{0}^{2}$，得：v_b=$\sqrt{5gR}$．
所以剛脫離彈簧時小球a的速度小于小球b的速度，故A正確．
B、對彈簧釋放的過程，取向左為正方向，由動量守恒定律得：m_av_a-m_bv_b=0，解得：$\frac{{m}_{a}}{{m}_}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
剛脫離彈簧時小球a的動能與b的動能之比 $\frac{{E}_{ka}}{{E}_{kb}}$=$\frac{\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}}{\frac{1}{2}{m}_{v}_^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$＜1，所以剛脫離彈簧時小球a的動能小于小球b的動能，故B錯誤．
C、小球a剛通過M點時，根據牛頓第二定律得 N_a-m_ag=m_a$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$，解得 N_a=5m_ag．小球b剛通過N點時，根據牛頓第二定律得：N_b-m_bg=m_b$\frac{{v}_^{2}}{R}$，解得：N_b=6m_bg=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$m_ag，所以N_a＜N_b，根據牛頓第三定律知，小球a剛通過M點時對軌道的壓力小于小球b剛通過N點時對軌道的壓力，故C正確．
D、小球a到達最高點時對軌道的壓力等于a球的重力，小球b到達最高點時對軌道的壓力為零，所以小球a到達最高點時對軌道的壓力大于小球b到達最高點時對軌道的壓力，故D錯誤．
故選：AC

點評 本題要分析清楚物體運動過程，把握圓周運動的臨界條件，應用機械能守恒定律與動量守恒定律、牛頓第二定律即可正確解題．