Question

12．如圖所示，半徑為R的光滑的四分之三圓弧軌道豎直放置，A、C兩點分別為軌道的最低點和最高點，一質(zhì)量為m的小環(huán)套在軌道上，小環(huán)以水平向右的初速度從A出發(fā)經(jīng)C點后，恰可撞擊到D點．求：
（1）小環(huán)到達(dá)C點瞬間軌道對環(huán)的彈力的大小和方向；
（2）設(shè)小環(huán)撞擊到D點后又能套在圓軌道上，那么相對A點能上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）小環(huán)從C到D做平拋運(yùn)動，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動的時間，結(jié)合水平位移和時間求出小環(huán)通過C點時的速度．在C點，由牛頓第二定律求軌道對環(huán)的彈力．
（2）小環(huán)撞擊D點后水平方向的分速度突然減至零，只剩豎直分速度，由平拋運(yùn)動的規(guī)律求出豎直分速度，再由機(jī)械能守恒定律求小環(huán)相對A點能上升的最大高度．

解答 解：（1）小環(huán)從C到D做平拋運(yùn)動，由平拋運(yùn)動的規(guī)律有：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
R=v_Ct
解得：v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
在C點，以小環(huán)為研究對象，設(shè)軌道對小環(huán)的彈力方向豎直向上，大小為F．根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1}{2}$mg
由于F＞0，所以假設(shè)正確，即軌道對環(huán)的彈力的方向豎直向上．
（2）小環(huán)撞擊D點后水平方向的分速度突然減至零，只剩豎直分速度，豎直分速度為：v_y=gt=$\sqrt{2gR}$
設(shè)小環(huán)相對A點能上升的最大高度為h．取A點為參考點，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$+mgR=mgh
解得：h=2R
答：（1）小環(huán)到達(dá)C點瞬間軌道對環(huán)的彈力的大小是$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向上；
（2）設(shè)小環(huán)撞擊到D點后又能套在圓軌道上，那么相對A點能上升的最大高度是2R．

點評 本題考查了平拋運(yùn)動、向心力與機(jī)械能守恒定律的綜合，要知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律，明確圓周運(yùn)動向心力的來源：指向合外力．關(guān)鍵要判斷出小環(huán)撞擊D點時速度的變化．