Question

8．經長期觀測，人們在宇宙中已經發(fā)現了“雙星系統(tǒng)”．“雙星系統(tǒng)”由相距較近的恒星組成，每個恒星的半徑遠小于兩個恒星之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體，它們在相互間的萬有引力作用下，繞某一點做勻速圓周運動，如圖所示為某一雙星系統(tǒng)，A星球的質量為m₁，B星球的質量為m₂，它們中心之間的距離為L，引力常量為G，則下列說法正確的是（　　）

• A． A星球的軌道半徑為R=$\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$L
• B． B星球的軌道半徑為r=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$L
• C． 雙星運行的周期為T=2πL$\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$
• D． 若近似認為B星球繞A星球中心做圓周運動，則B星球的運行周期為T=2πL$\sqrt{\frac{L}{G{m}_{1}}}$

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．應用牛頓第二定律列方程求解

解答 解：AB、雙星靠他們之間的萬有引力提供向心力，A星球的軌道半徑為R，B星球的軌道半徑為r，根據萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}{ω}_{\;}^{2}R={m}_{2}^{\;}{ω}_{\;}^{2}r$
得${m}_{1}^{\;}R={m}_{2}^{\;}r$
且R+r=L
解得：$R=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
$r=\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
故A錯誤，B錯誤；
C、根據萬有引力等于向心力$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
得$G{m}_{2}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}R{L}_{\;}^{2}$
$G{m}_{1}^{\;}{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}r{L}_{\;}^{2}$
得$G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）{T}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}（R+r）{L}_{\;}^{2}=4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$=$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$，故C正確；
D、若近似認為B星球繞A星球中心做圓周運動，則根據萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}L$
解得：$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{m}_{1}^{\;}}}$=$2πL\sqrt{\frac{L}{G{m}_{1}^{\;}}}$，故D正確；
故選：CD

點評 解決本題的關鍵知道雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會用萬有引力提供向心力進行求解