Question

17．用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb′a′．如圖所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行．設勻強磁場僅存在于相對磁極之間，其他地方的磁場忽略不計．可認為方框的aa′邊和bb′邊都處在磁極間，極間磁感應強度大小為B．方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平（不計空氣阻力）．

（1）求方框下落的最大速度v_m（設磁場區(qū)域在豎直方向足夠長）；
（2）已知方框下落的時間為t時，下落的高度為h，其速度為v_t（v_t＜v_m）．若在同一時間t內，方框內產生的熱與一恒定電流I₀在該框內產生的熱相同，求恒定電流I₀的表達式．

Answer 1

分析 （1）分析方框運動的過程，知道當方框勻速運動時速度最大，根據(jù)力的平衡知識求解．
（2）根據(jù)能量守恒定律表示出時間t內方框內產生的熱量表達式，再求出恒定電流I₀的表達式．

解答 解：（1）線框被釋放后先做速度增大、加速度逐漸減小的直線運動，當加速度等于零時線框的速度達到最大，此后線框勻速下落
根據(jù)平衡條件：mg-FA=0  …①
又質量 m=4LAd…②
線框受到的安培力合力F_A=2BIL…③
電流$I=\frac{E}{R}$…④
等效電動勢E=2BLv_m…⑤
線框電阻R=$\frac{4ρL}{A}$…⑥
得最大速度v_m=$\frac{4ρgd}{{B}^{2}}$．
（2）依據(jù)能量守恒定律得mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$+Q_J…⑦
因${Q}_{J}={I}_{0}^{2}Rt$…⑧
由②⑥及⑦⑧解得 I₀=$A\sqrt{\fracyoi2mmc{ρt}（gh-\frac{{v}_{t}^{2}}{2}）}$．
答：（1）方框下落的最大速度$\frac{4ρgd}{{B}^{2}}$；
（2）恒定電流的表達式I₀=$A\sqrt{\fracy4akasi{ρt}（gh-\frac{{v}_{t}^{2}}{2}）}$．

點評 解答這類問題的關鍵是通過受力分析，正確分析安培力的變化情況，找出最大速度的運動特征．
電磁感應與電路結合的題目，感應電動勢是中間橋梁．