Question

【題目】如圖所示，不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)線下方懸掛一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，另一端固定在豎直光滑墻面上的O點(diǎn)。開(kāi)始時(shí)，小球靜止于A點(diǎn)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度，使其恰好能在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。垂直于墻面的釘子N位于過(guò)O點(diǎn)豎直線的左側(cè)，與的夾角為，且細(xì)線遇到釘子后，小球繞釘子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到釘子正下方時(shí)，細(xì)線剛好被拉斷。已知小球的質(zhì)量為m，細(xì)線的長(zhǎng)度為L，細(xì)線能夠承受的最大拉力為7mg，g為重力加速度大小。

（1）求小球初速度的大小；

（2）求小球繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r與的關(guān)系式；

（3）在細(xì)線被拉斷后，小球繼續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，試判斷它能否通過(guò)A點(diǎn)。若能，請(qǐng)求出細(xì)線被拉斷時(shí)的值；若不能，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）不能通過(guò)A點(diǎn)，理由見(jiàn)解析。

【解析】

(1) 小球恰能完整圓周運(yùn)動(dòng)至最高點(diǎn)，設(shè)最高點(diǎn)的速度為v，據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)公式：

解得：

小球釋放至最高點(diǎn)，由動(dòng)能定理：

解得：

(2)小球繞釘子做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)碰到釘子時(shí)的速度為，由釋放到碰到釘子時(shí)根據(jù)動(dòng)能定理得：

碰到釘子到繩子斷的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：

繩子斷的瞬間：

聯(lián)立以上幾式，解得：

（3）細(xì)線被拉斷后，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)t時(shí)間小球運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)同一豎直線上，由幾何關(guān)系德：

平拋運(yùn)動(dòng)水平方向列方程得：

由（2）可知：

平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向列方程得：

帶入上面幾式可得：

平拋開(kāi)始點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差h為：

若正好過(guò)A點(diǎn)，則，解得：

此結(jié)論與（2）不相符，所以小球不能通過(guò)A點(diǎn)。