Question

10．近一段時(shí)間，“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星是國(guó)人乃至全世界最關(guān)注的事件之一．某同學(xué)在新聞報(bào)道中收集了一些關(guān)于“嫦娥一號(hào)”的數(shù)據(jù)：“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星最終進(jìn)入的工作軌道是距離月球表面h=200km、周期T₁=127min的極月圓軌道，但他沒(méi)有找到月球半徑的數(shù)據(jù)報(bào)道，于是他想利用自己學(xué)過(guò)的物理知識(shí)來(lái)算出月球的半徑R_月．他又從學(xué)習(xí)資料上查到一些數(shù)據(jù)：月球的質(zhì)量M_月=7.4×10²²kg，月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)的周期T₂=30天、軌道半徑r_月=3.8×10⁵km，萬(wàn)有引力恒量G=6.67×10^-11N•m²/kg²．
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，他寫出了求解月球半徑的表達(dá)式：$\frac{{{T}_{1}}^{2}}{（{R}_{月}+h）^{3}}$=$\frac{{{T}_{2}}^{2}}{{{r}_{月}}^{3}}$
你認(rèn)為他的這個(gè)表達(dá)式正確嗎？如果正確，請(qǐng)利用萬(wàn)有引力和圓周運(yùn)動(dòng)公式寫出推導(dǎo)上述表達(dá)式的過(guò)程，并求出R_月的表達(dá)式（用字母表示）；如果你認(rèn)為這個(gè)表達(dá)式是錯(cuò)誤的，請(qǐng)利用上述物理量寫出正確的月球半徑R_月的表達(dá)式（只需用字母表示）及推導(dǎo)過(guò)程．

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)和月球繞地球轉(zhuǎn)的中心天體不同，則軌道半徑的三次方和周期的二次方比值不同，不能用這種方法求解月球的半徑．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，通過(guò)衛(wèi)星的周期和高度以及月球的質(zhì)量求出月球的半徑．

解答 解：這個(gè)表達(dá)式是錯(cuò)誤的．因?yàn)樾l(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)和月球繞地球轉(zhuǎn)的中心天體不同，則軌道半徑的三次方和周期的二次方比值不同．
根據(jù)“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星受到的月球的萬(wàn)有引力提供向心力得：G$\frac{{M}_{月}{m}_{衛(wèi)星}}{（{R}_{月}+{h}^{）2}}$=m_衛(wèi)星$\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$（R_月+h）
將公式變形得：（R_月+h）³=$\frac{{{T}_{1}}^{2}G{M}_{月}}{4{π}^{2}}$
解得   R_月=$\root{3}{{\frac{{{T_1}^2G{M_月}}}{{4{π^2}}}}}$-h．
答：該同學(xué)表達(dá)式是錯(cuò)的，R_月的表達(dá)式 R_月=$\root{3}{{\frac{{{T_1}^2G{M_月}}}{{4{π^2}}}}}$-h．

點(diǎn)評(píng) 該題考查對(duì)萬(wàn)有引力定律的理解與應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，并能靈活運(yùn)用．