Question

13．如圖所示，是某次發(fā)射人造衛(wèi)星的示意圖，人造衛(wèi)星先在半徑為r的近地圓周軌道1上運(yùn)動(dòng)，然后改在橢圓軌道2上運(yùn)動(dòng)，最后在半徑為7r的圓周軌道3上運(yùn)動(dòng)，a點(diǎn)是軌道1、2的交點(diǎn)，b點(diǎn)是軌道2、3的交點(diǎn)，人造衛(wèi)星在軌道1上a點(diǎn)的速度為v_1a，在軌道2上a點(diǎn)的速度為v_2a，在軌道2上b點(diǎn)的速度為v_2b，在軌道3上b點(diǎn)的速度為v_3b，已知衛(wèi)星在圓軌道運(yùn)行時(shí)的引力勢(shì)能為E_p=-$\frac{GMm}{r}$選擇無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，r是衛(wèi)星與中心天體的球心距，下列說法正確的是（　�。�

• A． 軌道1、2、3的周期之比為7$\sqrt{7}$：8：1
• B． v_2a＞v_1a＞v_2b＞v_3b
• C． v_2a＞v_1a＞v_3b＞v_2b
• D． 圓周軌道1和3上運(yùn)行時(shí)，衛(wèi)星和地球系統(tǒng)的機(jī)械能之比為1：14

Answer 1

分析 根據(jù)衛(wèi)星的速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$比較人造衛(wèi)星在軌道1上的速度v_1a與在軌道3上的速度v_3b的大小．根據(jù)開普勒定律判斷在軌道2上a點(diǎn)的速度為v_2a和v_2b的大�。�衛(wèi)星從軌道1上a處加速變軌到軌道2，從軌道2上b處加速變軌到軌道3．將四個(gè)速度兩兩比較，進(jìn)行選擇．

解答 解：A、根據(jù)萬有引力提供向心力得T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
軌道3的周期最大，則所給比式不對(duì)，故A錯(cuò)誤；
B、C、衛(wèi)星在軌道1和軌道3上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)衛(wèi)星的速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$分析可知，
軌道半徑越小，衛(wèi)星的速度越大，則有v_1a＞v_3b．
衛(wèi)星在軌道2上做橢圓運(yùn)動(dòng)，根據(jù)開普勒第二定律得知，v_2a＞v_2b．
衛(wèi)星從軌道1變軌到軌道2，在a點(diǎn)加速，則有v_2a＞v_1a．
衛(wèi)星從軌道2變軌到軌道3，在b點(diǎn)加速，則有v_3b＞v_2b．
所以v_2a＞v_1a＞v_3b＞v_2b． 則B錯(cuò)誤，C正確；
D、1軌道上的機(jī)械能為：E=$\frac{1}{2}$m${（\sqrt{\frac{GM}{r}}）}^{2}$+$\frac{GMm}{r}$，
3軌道上的機(jī)械能為：E′=$\frac{1}{2}$m${（\sqrt{\frac{GM}{7r}}）}^{2}$+$\frac{GMm}{7r}$，則兩者之比為7：1，故D錯(cuò)誤；
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題是衛(wèi)星問題，除了運(yùn)用衛(wèi)星的速度公式判斷衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小外，難點(diǎn)在于要了解衛(wèi)星如何變軌的．