Question

4．如圖所示，物塊A的質量為M，物塊B、C的質量都是m，均可看作質點，且m＜M＜2m．三物塊用輕繩通過滑輪連接．一輕彈簧下端固定在地面上，其上端與物塊A相連，勁度系數(shù)為k，物塊B與物塊C的距離和物塊C到地面的距離都是L．設物塊A距滑輪足夠遠，不計一切摩擦阻力，開始時系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)．求：
（1）彈簧的形變量；
（2）若將輕彈簧剪斷，物塊A上升時的最大速度；
（3）將輕彈簧剪斷后，物塊A上升的最大高度（物塊著地不反彈）．

Answer 1

分析 （1）受力分析結合胡克定律求解形變量；
（2）A、B、C三物體系統(tǒng)機械能守恒．B、C下降L，A上升L時，A的速度達到最大，根據(jù)機械能列式求解；
（3）當C著地后，A、B二物體系統(tǒng)機械能守恒．B恰能著地，即B物體下降L時速度為零．
MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）v_m²解得M，分析m大小與M關系從而根據(jù)能量守恒求物塊A上升的最大高度．

解答 解：（1）對A：F=2mg-Mg…．①
   根據(jù)胡克定律知：F=kx…．②
由①②解得 x=$\frac{2mg-Mg}{k}$．
（2）A、B、C三物體系統(tǒng)機械能守恒．B、C下降L，A上升L時，A的速度達到最大．
2mgL-MgL=$\frac{1}{2}$（M+2m）v_m²…．③
由③解得v_m=$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$…④
（3）當C著地后，A、B二物體系統(tǒng)機械能守恒．B恰能著地，即B物體下降L時速度為零．
MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）v_m²…．⑤
由④⑤解得：M=$\sqrt{2}$m…．
①若$\sqrt{2}$m＜M＜2m，B物體將不會著地．
Mgh-mgh=$\frac{1}{2}$（M+m） v_m²…．⑥
h=$\frac{（M+m）{{v}_{m}}^{2}}{2（M-m）g}$
H₁=L+h=$\frac{2MmL}{（2m+M）（M-m）}$⑦
②若M=$\sqrt{2}$m，B恰能著地，A物體再上升的高度等于L．
H₂=2L
③若m＜M＜$\sqrt{2}$m，B物體著地后，A還會上升一段．設B落地的速度v
MgL-mgL=$\frac{1}{2}$（M+m）（v_m²-v²） …．⑧
△h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$…．⑨
H₃=2L+△h ⑩
由⑧⑨⑩得  H₃=2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$
答：（1）彈簧的形變量為$\frac{2mg-Mg}{k}$；
（2）若將輕彈簧剪斷，物塊A上升時的最大速度為$\sqrt{\frac{2（2m-M）gL}{2m+M}}$；
（3）將輕彈簧剪斷后，物塊A上升的最大高度為2L+$\frac{2（2{m}^{2}-{M}^{2}）L}{（m+M）（2m+M）}$．

點評 該題是一道綜合題，綜合運用了機械能守恒定律以及功能關系，解決本題的關鍵熟練這些定理、定律的運用，注意分析質量關系即可．