Question

8．如圖所示，兩根相距L=1m、單位長(zhǎng)度電阻R₀=0.1Ω/m的平行光滑金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在同一絕緣水平面上，左端與阻值R=0.1Ω的電阻相連．MP、AB、CD、EF之間間距均為L(zhǎng)=1m，虛線AB右側(cè)空間存在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為：B_t=（0.2+0.1t）T．導(dǎo)體棒開始時(shí)在外力作用下靜止于CD處，導(dǎo)體棒電阻不計(jì)．
（1）求通過導(dǎo)體棒的電流大小和方向；
（2）若導(dǎo)體棒在外力作用下以v=2m/s的速度勻速向右運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)刻剛好經(jīng)過CD處，已知導(dǎo)體棒中同
時(shí)產(chǎn)生了感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，求此時(shí)導(dǎo)體棒所受的安培力大小；
（3）在第（2）問的情境下，求導(dǎo)體棒從CD勻速運(yùn)動(dòng)到EF的過程中安培力所做的功．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒不動(dòng)時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻增大，回路中產(chǎn)生恒定的感生電動(dòng)勢(shì)，由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合求電流大小，由楞次定律判斷電流的方向．
（2）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，由楞次定律判斷知道兩個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向相同，求得總的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，再根據(jù)歐姆定律求出感應(yīng)電流，即可求得導(dǎo)體棒所受的安培力大�。�
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求得t時(shí)刻回路中的總電動(dòng)勢(shì)，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，根據(jù)安培力的平均值求安培力所做的功．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒不動(dòng)時(shí)，回路中產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得：
感生電動(dòng)勢(shì)為：E=$\frac{△{B}_{t}}{△t}$L²
由B_t=（0.2+0.1t）T得：$\frac{△{B}_{t}}{△t}$=0.1T/s
而此時(shí)回路總電阻為：R=4LR₀+r
由閉合電路歐姆定律得導(dǎo)體棒中的電流為：I=$\frac{E}{R}$
解得：I=0.2A
根據(jù)楞次定律可知導(dǎo)體棒中電流的方向?yàn)橛蒁到C．
（2）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，同時(shí)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，由楞次定律可知，兩電動(dòng)勢(shì)方向相同，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得，回路中的總電動(dòng)勢(shì)為：
E₁=$\frac{△{B}_{t}}{△t}$L²+B₀Lv
其中 B₀=0.2T
由閉合電路歐姆定律得，回路電流為：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
導(dǎo)體棒所受的安培力為：F₁=B₀I₁L
解得：F₁=0.2N．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，t時(shí)刻回路中的總電動(dòng)勢(shì)為：
  E_t=L（L+vt）$\frac{△Bt}{△t}$+B_tLv
t時(shí)刻回路中的總電阻為：R_t=r+4LR₀+2vtR₀
t時(shí)刻通過導(dǎo)體棒的電流：I_t=$\frac{{E}_{t}}{{R}_{t}}$
解得：I_t=1A
即回路電流為定值，與時(shí)間無關(guān)，所以導(dǎo)體棒所受安培力隨時(shí)間均勻變化；而導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，所以安培力隨位移也均勻變化，則導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到EF處所受安培力
F₂=B_EFI_tL
其中 B_EF=0.2+0.1t=0.2+0.1×$\frac{1}{2}$=0.25T
則安培力所做的功為 W=-$\frac{{F}_{1}+{F}_{2}}{2}$L
解得：W=-0.225J．
答：（1）通過導(dǎo)體棒的電流大小為0.2A，方向由D到C．
（2）此時(shí)導(dǎo)體棒所受的安培力大小為0.2N．　
（3）導(dǎo)體棒從CD勻速運(yùn)動(dòng)到EF的過程中安培力所做的功是-0.225J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道電磁感應(yīng)與電路、力學(xué)相結(jié)合的綜合題，分析清楚導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，要明確感生電動(dòng)勢(shì)和動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)方向的關(guān)系，應(yīng)用法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力公式、功的計(jì)算公式即可正確解題．