Question

15．如圖所示，飛行器P繞某星球做周期為T的勻速圓周運動，星球相對于飛行器的張角為θ，已知萬有引力恒量為G，則該星球的密度為（　�。�

• A． $\frac{3π}{{G{T^2}{{sin}^3}\frac{θ}{2}}}$
• B． $\frac{3π}{{G{T^2}{{tan}^3}\frac{θ}{2}}}$
• C． $\frac{{3π{{sin}^3}\frac{θ}{2}}}{{G{T^2}}}$
• D． $\frac{{3π{{tan}^3}\frac{θ}{2}}}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力做向心力得到軌道半徑與中心天體質(zhì)量的關系，進而得到中心天體半徑與質(zhì)量的關系，即可求得密度．

解答 解：設星體半徑為R，飛行器軌道半徑為r，那么有：$R=rsin\frac{θ}{2}$，星體質(zhì)量為：$M=\frac{4}{3}πρ{R}^{3}$；
則有飛行器P繞某星球做周期為T的勻速圓周運動，萬有引力做向心力可得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
得：$ρ=\frac{3M}{4π{R}^{3}}$=$\frac{3M}{4π{r}^{3}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$=$\frac{3M}{4π×\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}si{n}^{3}\frac{θ}{2}}$；故A正確，BCD錯誤；
故選：A．

點評 天體運動，衛(wèi)星運動一般都是利用合外力為萬有引力，然后根據(jù)向心力的變化得到運動狀態(tài)的變化或由萬有引力做向心力得到運動速度、周期等與半徑的關系．