Question

10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；第二象限有沿x軸正方向的大小可調(diào)的勻強(qiáng)電場，其電場強(qiáng)度的大小可取從0到Em之間的任意數(shù)值，當(dāng)電場強(qiáng)度的大小為E_m時(shí)，一帶正電的粒子從x軸負(fù)半軸上的P（-0.08m，0）點(diǎn)，以初速度v₀=3×l0⁴m/s沿y軸正方向射入勻強(qiáng)電場，經(jīng)過y軸上的Q（0，0.12m）點(diǎn)后恰好垂直打到x軸正半軸上，帶電粒子的比荷為$\frac{q}{m}=\frac{1}{3}$×l0⁹C/kg，不計(jì)帶電粒子所受重力，只考慮帶電粒子第一次進(jìn)入磁場的情況，求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度的最大值E_m的大小；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）若帶電粒子每次均從M（-0.08m，0.12m）點(diǎn)，以相同初速度v_o沿y軸正方向射出，改變電場強(qiáng)度的大小，求帶電粒子經(jīng)過x軸正半軸的位置范圍．

Answer 1

分析 （1）分析可知，粒子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)的合成和分解、牛頓第二定律以及運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，聯(lián)立即可求出勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度的最大值E_m的大小；
（2）利用平行四邊形定則求出粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，即可求勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成和分解求出粒子經(jīng)過y軸的速度大小，再利用洛倫茲力提供向心力，找到粒子在左右兩側(cè)的臨界幾何關(guān)系，即可求出粒子經(jīng)過x軸的最小坐標(biāo)值和最大坐標(biāo)值．

解答 解：（1）設(shè)粒子到達(dá)y軸所用時(shí)間為t，
根據(jù)類平拋規(guī)律有：y₀=v₀t…①
x_P=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…②
根據(jù)牛頓第二定律：qE_m=ma…③
聯(lián)立①②③式得：E_m=30N/C…④
（2）設(shè)粒子經(jīng)過y軸的速度大小為v，方向與y軸的夾角為θ，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，
粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+（a{t）}^{2}}$…⑤
類平拋速度偏向角公式：tanθ=$\frac{at}{{v}_{0}}$=$\frac{q{E}_{m}t}{m{v}_{0}}$…⑥
幾何關(guān)系有：Rsinθ=y₀ …⑦
洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑧
聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧式得：B=1×10^-3T…⑨
（3）設(shè)電場強(qiáng)度為E，粒子經(jīng)過y軸的速度大小為v′，方向與y軸的夾角為α，
則：v₀=v′cosα…⑩
粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，圓心到y(tǒng)軸的距離為d，
則：d=rcosα…⑪
洛倫茲力提供向心力可得：qv′B=m$\frac{{v′}^{2}}{r}$…⑫
聯(lián)立⑨⑩⑪⑫得：d=$\frac{mv′}{qB}•cosα$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosα}•cosα$=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.09m
由于粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心到y(tǒng)軸的距離不變，故粒子經(jīng)過x軸的坐標(biāo)值最小為：x₁=d=0.09m…⑬
當(dāng)電場強(qiáng)度的大小為E_m時(shí)，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大，圓心的y坐標(biāo)最小，故粒子此時(shí)經(jīng)過x軸的坐標(biāo)值最大，
設(shè)粒子經(jīng)過x軸的坐標(biāo)值最大值為x₂，
根據(jù)動(dòng)能定理可得：qE_mx_M=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑭
洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑮
根據(jù)幾何關(guān)系有：$\sqrt{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}+{y}_{M}^{2}}$=R…⑯
聯(lián)立⑬⑭⑮⑯式得：x₂=0.18m
故帶電粒子經(jīng)過x軸的位置范圍為0.09m～0.18m之間
答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度的最大值E_m的大小為30N/C；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為1×10^-3T；
（3）若帶電粒子每次均從M（-0.08m，0.12m）點(diǎn)，以相同初速度v_o沿y軸正方向射出，改變電場強(qiáng)度的大小，帶電粒子經(jīng)過x軸正半軸的位置范圍為0.09m～0.18m之間．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動(dòng)，解題關(guān)鍵是要知道粒子做什么運(yùn)動(dòng)，選擇合適的規(guī)律解題，還要注意分析粒子出電場進(jìn)磁場銜接點(diǎn)的瞬時(shí)速度；第三問的關(guān)鍵在于臨界幾何條件的尋找，對數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．