Question

（2009?湖北模擬）圖示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O的運(yùn)行軌道近似為圓．已知引力常量為G，天文學(xué)家觀測(cè)得到A行星的運(yùn)行軌道半徑為R₀，周期為T₀
（1）中央恒星O的質(zhì)量是多大？
（2）長(zhǎng)期觀測(cè)發(fā)現(xiàn)A行星每隔t₀時(shí)間其運(yùn)行軌道便會(huì)偏離理論軌道少許，天文學(xué)家認(rèn)為出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運(yùn)行的圓軌道與A在同一平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同）．根據(jù)上述現(xiàn)象和假設(shè)，試估箅未知行星B的運(yùn)動(dòng)周期和軌道半徑．

Answer 1

分析：（1）研究行星繞恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，列出等式帶有周期表達(dá)式，再根據(jù)已知量解出恒星質(zhì)量；
（2）先根據(jù)多轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)間為t₀，求出衛(wèi)星的周期；然后再根據(jù)開普勒第三定律解得軌道半徑．

解答：解：（1）設(shè)中央恒星質(zhì)量為M，A行星質(zhì)量為m，
由萬(wàn)有引力提供向心力得：G

Mm

R 2 0

=m

4π2

T 2 0

R0
解得：M=

4π2 R 3 0

G T 2 0

故中央恒星O的質(zhì)量為

4π2 R 3 0

G T 2 0

．
（2）由題意可知：A、B相距最近時(shí)，B對(duì)A的影響最大，且每隔時(shí)間t₀發(fā)生一次最大的偏離，說明A、B相距最近，設(shè)B行星的周期為T，則有：
(

2π

T0

-

2π

T

)t0=2π
解得：T=

t0T0

t0-T0

據(jù)開普勒第三定律：

R3

R 3 0

=

T2

T 2 0

得：R=

3	( t0 t0-T0 )2

R₀
故未知行星B的運(yùn)動(dòng)周期為

t0T0

t0-T0

，軌道半徑為

3	( t0 t0-T0 )2

R₀．

點(diǎn)評(píng)：從本題可以看出，通過測(cè)量環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期，可以求出中心天體的質(zhì)量．