Question

11．如圖所示，以MN為界的兩勻強(qiáng)磁場，方向均垂直紙面向里，MN邊界上方的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁大于下方的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂，且B₂=B₀，一質(zhì)量為m，帶正電荷且電量為q的粒子從O點(diǎn)沿圖示方向垂直MN進(jìn)入磁場B₁中，不計(jì)粒子重力．
（1）若B₁=2B₀，求帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)至再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間，并畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡．
（2）求帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)后能再次回到O點(diǎn)的所有B₁的可能值及其運(yùn)動(dòng)過程所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在兩種磁場中只受洛倫茲力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可知半徑${R}_{1}=\frac{1}{2}{R}_{2}$，根據(jù)左手定則，分析粒子旋轉(zhuǎn)方向，畫出軌跡，根據(jù)軌跡確定時(shí)間與周期的關(guān)系，即可求出粒子重新回到O點(diǎn)的時(shí)間；
（2）根據(jù)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)周期性運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，找出半徑間的關(guān)系，聯(lián)立方程求出B₁可能值和對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

解答 解：（1）設(shè)粒子在磁場B₁和B₂中圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為R₁、R₂，
               粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
               解得：${R}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}$，${R}_{2}=\frac{mv}{q{B}_{2}}$，
               當(dāng)B₁=2B₀=2B₂時(shí)，${R}_{1}=\frac{1}{2}{R}_{2}$，
                根據(jù)左手定則判斷可以知道，粒子在磁場B₁中沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在磁場B₂中沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，
                畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示：
            
                                        圖甲
             粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$，
              粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)包含兩部分，在上半磁場的2個(gè)半周期，在下半磁場的半個(gè)周期．
              帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)至再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間為：
               ${t}_{1}={T}_{1}+\frac{{T}_{2}}{2}=\frac{2πm}{2q{B}_{0}}+\frac{1}{2}×\frac{2πm}{q{B}_{2}}=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$
            （2）畫出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖乙所示：
          
                                   圖乙
            設(shè)A₁A₂=△x，則△x=2R₂-2R₁，
            當(dāng)再一次回到O點(diǎn)時(shí)應(yīng)滿足：n△x=2R₁，
            解得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{n}{n+1}$，
            由$R=\frac{mv}{qB}$得：$B=\frac{mv}{qR}$，
            即：$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{n+1}{n}$，
            故：${B}_{1}=\frac{n+1}{n}{B}_{0}$（n=1，2，3，…）
            根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡，在MN上方的B₁磁場中有（n+1）個(gè)半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{1}=\frac{1}{2}（n+1）{T}_{1}=\frac{n+1}{2}•\frac{2πm}{q{B}_{1}}=\frac{nπm}{q{B}_{0}}$
            在MN下方的B₂磁場中有n個(gè)半圓，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{2}=\frac{n}{2}{T}_{2}=\frac{n}{2}•\frac{2πm}{q{B}_{0}}=\frac{nπm}{q{B}_{0}}$
            則帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)后能再次回到O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
             $t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{2nπm}{q{B}_{0}}$（n=1，2，3，…）
答：（1）帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)至再次回到O點(diǎn)所需的時(shí)間$t=\frac{2πm}{q{B}_{0}}$，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲；
      （2）帶電粒子能再次回到O點(diǎn)的B₁的值為${B}_{1}=\frac{n+1}{n}{B}_{0}$（n=1，2，3，…）
              帶電粒子從O點(diǎn)出發(fā)后能再次回到O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$t=\frac{2nπm}{q{B}_{0}}$（n=1，2，3，…）

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在兩個(gè)不同磁場區(qū)域做交替圓周運(yùn)動(dòng)的問題，綜合考查帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)及左手定則，準(zhǔn)確畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖是解決問題的關(guān)鍵；其中第二問不僅要求能準(zhǔn)確畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，而且要從運(yùn)動(dòng)軌跡中找出運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，對能力要求較高．