Question

3．光滑絕緣的長(zhǎng)軌道形狀如圖所示，底部為半圓型，半徑R，固定在豎直平面內(nèi)．A、B是質(zhì)量都為m的小環(huán)，A帶電量為-2q、B的帶電量為+q，用長(zhǎng)為R的絕緣輕桿連接在一起，套在軌道上．整個(gè)裝置放在電場(chǎng)強(qiáng)度為E=$\frac{mg}{3q}$，方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，將AB兩環(huán)從圖示位置靜止釋放，A環(huán)離開(kāi)底部2R．不考慮輕桿和軌道的接觸，也不考慮A、B間的庫(kù)侖力作用．求：
（1）AB兩環(huán)都未進(jìn)入半圓型底部前，桿上的作用力的大小
（2）A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，兩球速度大��；
（3）若將桿換成長(zhǎng)2$\sqrt{2}$R，A環(huán)仍從離開(kāi)底部2R處?kù)o止釋放，經(jīng)過(guò)半圓型底部再次上升后離開(kāi)底部的最大高度．

Answer 1

分析 （1）在AB兩環(huán)都未進(jìn)入半圓型底部前，B受到向上的電場(chǎng)力，A受到向下的電場(chǎng)力，受到的重力相同，桿上的作用力即是AB受到電場(chǎng)力之差；
（2）A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等；根據(jù)幾何關(guān)系找到B環(huán)的位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）由于桿長(zhǎng)超過(guò)了半圓直徑，故A環(huán)一直在下方，速度為零時(shí)，結(jié)合幾何關(guān)系并根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．

解答 解：（1）由題意，桿上的作用力是AB受到電場(chǎng)力之差，F(xiàn)=Eq_A-Eq_B=$\frac{mg}{3q}$•2q-$\frac{mg}{3q}$•q=$\frac{mg}{3}$
（2）AB都進(jìn)入圓軌道后，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等，即V_A=V_B
當(dāng)A在最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)幾何關(guān)系得，B和A的高度差為$\frac{R}{2}$，
對(duì)整體依機(jī)械能守恒定律，有（mg+Eq_A）•2R+（mg-Eq_B）（3R-$\frac{R}{2}$）=$\frac{1}{2}$（m+m）v²-0
解得，v=$\sqrt{5g}$；
（3）由于桿長(zhǎng)超過(guò)了半圓直徑，故最后A環(huán)在下，如圖，

設(shè)A再次上升后，上升的最大高度為h，
由幾何關(guān)系得，B和A高度差為2R
對(duì)整體依機(jī)械能守恒定律，有（Eq_B-mg）（h+2R-3R）-（mg+Eq_A）（h-2R）=0
解得，h=$\frac{12}{7}$R．
答：（1）AB兩環(huán)都未進(jìn)入半圓型底部前，桿上的作用力的大小為$\frac{mg}{3}$；
（2）A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，兩球速度大小為$\sqrt{5g}$；
（3）若將桿換成長(zhǎng)2$\sqrt{2}$R，A環(huán)仍從離開(kāi)底部2R處?kù)o止釋放，經(jīng)過(guò)半圓型底部再次上升后離開(kāi)底部的最大高度為$\frac{12}{7}$R．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系多次得到A的具體位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可．