Question

12．如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O′，O和O′處在同一豎直線上．在兩板之間有一個(gè)帶負(fù)電的、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P．已知A、B間所加電壓為U₀時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P所受的電場(chǎng)力恰好與重力平衡．$T=\sqrt{\frac{12d}{g}}$現(xiàn)在A、B 間加上如圖2所示隨時(shí)間t作周期性變化的電壓U，已知周期（g為重力加速度）．在第一個(gè)周期內(nèi)的某一時(shí)刻t₀，在A、B 間的中點(diǎn)處由靜止釋放質(zhì)點(diǎn)P，一段時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)P從金屬板的小孔飛出．試求：

（1）質(zhì)點(diǎn)P所帶的電量q和某一時(shí)刻t₀釋放時(shí)的加速度a．
（2）t₀在什么范圍內(nèi)，可使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．
（3）t₀在哪一時(shí)刻，可使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大；并求出最大動(dòng)能．

Answer 1

分析 分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：在第一個(gè)周期內(nèi)，若質(zhì)點(diǎn)在前半周內(nèi)釋放，可能先向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；后半周內(nèi)釋放，可能先向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后向下做勻減速直線運(yùn)動(dòng)．要使質(zhì)點(diǎn)飛出小孔之前時(shí)間最短，必須一直加速，而且加速度較大．向上或向下的加速度大小由牛頓第第二定律求出，向下的加速度大，故質(zhì)點(diǎn)須在后半周內(nèi)某個(gè)時(shí)刻釋放，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間小于$\frac{1}{2}$T，質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即最短；要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后先向上加速、再向上減速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)小孔O時(shí)速度減為0，然后向下加速運(yùn)動(dòng)直到小孔O’

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，電量為q，當(dāng)A、B間的電壓為U₀時(shí)，有  q$\frac{U_0}lnrn1xr$=mg  
q=$\frac{mgd}{{U}_{0}}$
當(dāng)兩板間的電壓為2U₀時(shí)，P的加速度向上，其大小為a₁，則 q$\frac{{2{U_0}}}vlj1lvb$-mg=ma₁    
解得     a₁=g              
當(dāng)兩板間的電壓為-2U₀時(shí)，P的加速度向下，其大小為a₂，則 q$\frac{{2{U_0}}}hhv1x3z$+mg=ma₂
解得  a₂=3g              
（2）要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后一直向下加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)小孔O’，則 $\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$
解得$t=\sqrt{\fracdnjv1jd{3g}}$
因?yàn)?T=\sqrt{\frac{12d}{g}}$，所以$t＜\frac{T}{2}$，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)小孔之前能一直加速．
因此要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短，質(zhì)點(diǎn)釋放的時(shí)刻t₀應(yīng)滿足 $\frac{T}{2}≤{t_0}≤T-t$
即 $\sqrt{\frac{3d}{g}}≤{t_0}≤5\sqrt{\fraclb3pbvl{3g}}$
（3）要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后先向上加速、再向上減速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)小孔O時(shí)速度減為0，然后向下加速運(yùn)動(dòng)直到小孔O’．0=v₁-3gt₂$\frac{1}{2}d=\frac{1}{2}gt_1^2+（{v_1}{t_2}-\frac{1}{2}•3gt_2^2）$
由以上各式解得  ${t_1}=\sqrt{\frac{3d}{4g}}$，${t_2}=\sqrt{\fracvlzfjl3{12g}}$
設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后向上加速時(shí)間為t₁、向上減速時(shí)間為t₂，則  v₁=gt₁因?yàn)?{t_1}＜\frac{T}{2}$，${t_2}＜\frac{T}{2}$，因此質(zhì)點(diǎn)P能向上先加速后減速恰好到達(dá)小孔O．
設(shè)質(zhì)點(diǎn)從小孔O向下加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’經(jīng)過的時(shí)間為t₃，則 $d=\frac{1}{2}•3gt_3^2$
解得   ${t_3}=\sqrt{\frac{2d}{3g}}$
因?yàn)?{t_2}+{t_3}=\frac{{（1+2\sqrt{2}）}}{{2\sqrt{3}}}\sqrt{\frac13xbnbp{g}}＜\frac{T}{2}$，因此質(zhì)點(diǎn)P能從小孔O向下一直加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P從小孔O’飛出時(shí)的速度達(dá)到最大．
因此，要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，質(zhì)點(diǎn)P釋放的時(shí)刻應(yīng)為${t_0}=\frac{T}{2}-{t_1}=\sqrt{\frac{3d}{4g}}$
E_k=3mgd     
答：（1）質(zhì)點(diǎn)P所帶的電量q為$\frac{mgd}{{U}_{0}}$和某一時(shí)刻t₀釋放時(shí)的加速度a分別為g，3g．
（2）t₀在$\sqrt{\frac{3d}{g}}≤{t}_{0}≤5\sqrt{\frach3z3jhd{3g}}$范圍內(nèi)，可使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．
（3）t₀在$\sqrt{\frac{3d}{4g}}$，可使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大；最大動(dòng)能為3mgd

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，是電場(chǎng)知識(shí)和力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，分析方法與力學(xué)分析方法基本相同，關(guān)鍵在于分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況．