Question

3．如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長(zhǎng)均為L(zhǎng)=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0的初動(dòng)能從B點(diǎn)開(kāi)始沿AB向上運(yùn)動(dòng)，小球與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=$\frac{1}{3}$，設(shè)小球經(jīng)過(guò)軌道連接處均無(wú)能量損失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=$\frac{1}{3}$，cot18.5°=3）求：
（1）要使小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)，初動(dòng)能E_K0至少多大？
（2）小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；
（3）小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析 （1）要使小球能夠向上運(yùn)動(dòng)并回到B點(diǎn)，有兩個(gè)臨界條件的要求：一是要使小球能夠通過(guò)圓弧APD的最高點(diǎn)，二是通過(guò)了圓弧APD的最高點(diǎn)后還能夠再次到達(dá)B點(diǎn)．根據(jù)能量守恒分別求出小球恰好通過(guò)圓弧APD的最高點(diǎn)以及恰好到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的初動(dòng)能，比較兩種情況下的初動(dòng)能，從而得出初動(dòng)能E_K0的最小值．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球從B點(diǎn)出發(fā)又回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能，根據(jù)動(dòng)能定理判斷其能上升的最大高度，若不能上滑到最高點(diǎn)，由于重力的分力大于滑動(dòng)摩擦力，小球會(huì)下滑，求出小球在AB桿上摩擦產(chǎn)生的熱量．根據(jù)能量守恒求出第二次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的動(dòng)能．
（3）通過(guò)第二問(wèn)解答知小球能夠第二次到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)能量守恒定律討論小球能否第二次通過(guò)D點(diǎn)返回后上升到B點(diǎn)，從而確定小球的運(yùn)動(dòng)情況，最后根據(jù)動(dòng)能定理求出小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

解答 解：（1）由幾何關(guān)系可知：R=Ltan18.5°+r=2m                          
根據(jù)動(dòng)能定理得：E_k0=mgR（1-cosθ）+mgLsinθ+μmgLcosθ             
代入數(shù)據(jù)解得：E_k0=30J                           
（2）小球第一次回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為：
E_kB=mg•2R-mgr（1+cosθ）-μmgL=12J，
小球沿AB向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，距離B點(diǎn)為s，則有：E_kB=μmgscosθ+mgssinθ，
代入數(shù)據(jù)解得：s=$\frac{18}{13}$m=1.38m；
小球繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為：E_KD=mgr（1+cosθ）+mgssinθ-μmgscosθ-mgLcosθ=10（1+0.6）+10×1.38×0.8-$\frac{1}{3}$×10×0.8-10×3×0.8=12.6J       
（3）小球第二次到D點(diǎn)后還剩12.6J的能量，沿DP弧上升后再返回DC段，
到C點(diǎn)只剩下2.6J的能量．因此小球無(wú)法繼續(xù)上升到B點(diǎn)，滑到BQC某處后開(kāi)始下滑，
之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點(diǎn)．
由動(dòng)能定理：E_kD=μmgs₁
可得小球在CD上所通過(guò)的路程為：s=3.78m         
小球通過(guò)CD段的總路程為：S_總=2L+s=2×3+1.38=9.78m            
答：（1）要使小球能夠通過(guò)弧形軌道APD的最高點(diǎn)，初動(dòng)能E_K0至少為30J；
（2）小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能12.6J；
（3）小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程為9.78m．

點(diǎn)評(píng) 本題過(guò)程較復(fù)雜，關(guān)鍵是理清過(guò)程，搞清運(yùn)動(dòng)規(guī)律，合適地選擇研究的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理和能量守恒定律進(jìn)行解題．