Question

在豎直平面內(nèi)，以虛線為界分布著如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中勻強(qiáng)電場(chǎng)方向向上，大小為E；勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．虛線與水平線之間的夾角為θ=45°，一帶電粒子從O點(diǎn)以速度v0水平射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，已知帶負(fù)電粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，（重力忽略不計(jì)，電場(chǎng)、磁場(chǎng)區(qū)域足夠大）．
（1）求帶電粒子第1次通過(guò)虛線時(shí)，粒子距O點(diǎn)的距離？
（2）當(dāng)帶電粒子第4次通過(guò)虛線時(shí)，求粒子距O點(diǎn)的距離和粒子經(jīng)歷的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出運(yùn)動(dòng)半徑，根據(jù)幾何關(guān)系即可求解；
（2）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，第一次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，帶電粒子將從B點(diǎn)反向加速重新進(jìn)入磁場(chǎng)，再次求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，帶電粒子從C點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，求出第四次進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間，根據(jù)幾何關(guān)系求解粒子距O點(diǎn)的距離．

解答：解：如圖所示：
（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為：r=

mv0

Bq

，
因?yàn)棣?45°，根據(jù)幾何關(guān)系，帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)到A為

3

4

圓周，解得xOA=

2

r=

2 mv0

Bq

（2）因?yàn)?span id="kv5asuu" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">T=

2πm

Bq

，帶電粒子從O運(yùn)動(dòng)到A為

3

4

圓周，則帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
t1=

3

4

T=

3πm

2Bq

粒子從A點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)，受到電場(chǎng)力F=qE，則在電場(chǎng)中加速度大小為：a=

qE

m

從A到B的時(shí)間為：tAB=

v0

a

=

mv0

qE

帶電粒子將從B點(diǎn)反向加速重新進(jìn)入磁場(chǎng)，由幾何關(guān)系可知，帶電粒子從A到C為

1

4

圓周，則：
再一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)t1=

1

4

T=

πm

2Bq

xAC=xOA=

2 mv0

Bq

帶電粒子從C點(diǎn)再次進(jìn)入電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)
X=v₀t_CD
Y=

1

2

atCD2
Y=Xtanθ
得 tCD=

2mv0

qE

 
X=Y=

2mv02

qE

由于XCD=

X2+Y2

=

2 2 mv02

qE

所以第四次到電場(chǎng)與磁場(chǎng)分界虛線距O點(diǎn)距離為
△X=X_OA+X_AC+X_CD=

2 2 mv0 (E+vB)

BqE

第四次到達(dá)電場(chǎng)與磁場(chǎng)分界虛線的總時(shí)間為
t=t₁+2t_AB+t₂+t_CD=

2πm

Bq

+

4mv0

qE

答：（1）求帶電粒子第1次通過(guò)虛線時(shí)，粒子距O點(diǎn)的距離為

2 mv0

Bq

；
（2）當(dāng)帶電粒子第4次通過(guò)虛線時(shí)，粒子距O點(diǎn)的距離為

2 2 mv0 (E+vB)

BqE

，粒子經(jīng)歷的時(shí)間為

2πm

Bq

+

4mv0

qE

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，難度較大．