Question

15．如圖所示，位于豎直平面上的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，半徑為R，OB豎直，上端A距地面高度為H，質(zhì)量為m的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，最后落在地面上C點(diǎn)處，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離x；
（3）保持A距地面高度為H不變，改變R的大小，當(dāng)R為多少時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離x最大？該水平距離最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球從B點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解；
（3）利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析水平位移的表達(dá)式即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得：v_B=$\sqrt{2gR}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
解得：N=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=3mg．
（2）根據(jù)H-R=$\frac{1}{2}$gt²得：t=$\sqrt{\frac{2（H-R）}{g}}$，
則水平位移為：x=v_Bt=$\sqrt{2gR}$$\sqrt{\frac{2（H_R）}{g}}$=2$\sqrt{（H-R）R}$．
（3）由（2）所求可知：
水平距離：x=2$\sqrt{（H-R）R}$=2$\sqrt{-（R-\frac{H}{2}）^{2}+\frac{{H}^{2}}{4}}$
所以，當(dāng)R=$\frac{H}{2}$時(shí)，水平距離最大為：s_m=H．
答：（1）小球剛運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的支持力為3mg；
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)水平距離x為2$\sqrt{（H-R）R}$．
（3）當(dāng)R=$\frac{H}{2}$時(shí)，水平距離最大為H．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源和平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵