Question

15．如圖1所示，一根內(nèi)壁光滑的直角三角形玻璃管子處于豎直平面內(nèi)，傾斜角為θ=37°，讓兩個(gè)小球分別從頂點(diǎn)A由靜止開始出發(fā)，一個(gè)球沿AC滑下，到達(dá)C所用的時(shí)間為t₁，另一個(gè)球豎直自由下落經(jīng)過B到達(dá)C，所用的時(shí)間為t₂，在轉(zhuǎn)彎處有個(gè)極小的光滑圓弧，可確保小球轉(zhuǎn)彎時(shí)無機(jī)械能損失，且轉(zhuǎn)彎時(shí)間可以忽略不計(jì)．問：

（1）計(jì)算t₁：t₂的值；
（2）若用同樣的玻璃管把ABC軌道改為如圖2所示的ADEFC（在轉(zhuǎn)彎處均有個(gè)極小的光滑圓�。�，仍讓小球從A靜止開始運(yùn)動(dòng)，依次通過D、E、F后到達(dá)C點(diǎn)所用時(shí)間為t₃，試定性說明t₃和t₁、t₂的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球沿AC下滑的加速度，由位移公式求出時(shí)間t₁與AC長(zhǎng)度的關(guān)系．沿ABC滑下過程在AB段小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，BC段做勻速直線運(yùn)動(dòng)，分別求出兩段時(shí)間與AB位移大小的關(guān)系，再求解t₁：t₂的值；
（2）若球沿ADEF到C，小球在豎直管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相同的，分析小球在DE運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度比在BC中運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系，判斷t₃與t₂、t₁的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)三邊分別為3l、4l、5l，由AC滑下有a=gsinθ=0.6g．
由$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=5l$得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{10l}{0.6g}}=5\sqrt{\frac{2l}{3g}}$
沿ABC滑下AB段有：$\frac{1}{2}g{{t}_{21}}^{2}=3l$
得：${t}_{21}=\sqrt{\frac{6l}{g}}$
$v=g{t}_{21}=\sqrt{6gl}$
沿水平BC段有vt₂₁=4l，得t₂₂=$\frac{4l}{\sqrt{6gl}}$
${t}_{2}={t}_{21}+{t}_{22}=5\sqrt{\frac{2l}{3g}}$
故知t₁：t₂=1：1，兩球同時(shí)釋放，同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)．
（2）若球沿ADEF到C，則可知小球在豎直管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是相同的，而沿DE運(yùn)動(dòng)時(shí)小球的速度比在BC中運(yùn)動(dòng)要小，故在水平管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間延長(zhǎng)沿ABC管的時(shí)間比沿ADEFC的時(shí)間要短一些，故t₃＞t₂=t₁．
答：（1）t₁：t₂=1：1；
（2）t₃和t₁、t₂的大小關(guān)系：t₃＞t₂=t₁．

點(diǎn)評(píng) 本題要學(xué)會(huì)用相同的量表示t₂、t₁．也可以通過作速度圖象進(jìn)行分析．