Question

8．如圖所示，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀的放射源，它向xoy平面內(nèi)各個方向發(fā)射粒子，其電量為q（q＞0），質(zhì)量為m，速度大小都是v₀．在0＜y＜d的區(qū)域內(nèi)分布有指向y軸正方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小為E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$，在d＜y＜2d的區(qū)域內(nèi)分布有垂直于xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場．a(chǎn)b為一塊很大的平面感光板，放置于y=2d處，觀察發(fā)現(xiàn)恰好沒有粒子打到ab板上（不考慮粒子的重力）．
（1）求粒子剛進(jìn)入磁場時的速度大��；
（2）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（3）將ab板平移到什么位置時所有粒子均能打到板上？并求出此時ab板上被粒子打中區(qū)域的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子剛進(jìn)人磁場時的速度．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場中類平拋運(yùn)動，求出進(jìn)入磁場中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑大小得出磁場的寬度，從而確定出ab板移動的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求出ab板上被粒子打中的區(qū)域的長度．

解答 解：（1）根據(jù)動能定理：Eqd=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：v=2v₀；
（2）由（1）可知，粒子進(jìn)入磁場時的速度：v=2v₀，
對于沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場時與x軸正方向夾角：θ=$\frac{π}{3}$，
其在電場中沿x方向的位移為：x₁=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2d}{\frac{qE}{m}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，
可知知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，可得其圓周運(yùn)動的半徑為：
r=$\frac{2}{3}$d，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）易知沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．
由圖可知此時磁場寬度為原來的$\frac{1}{3}$，
即當(dāng)ab板位于y=$\frac{4}{3}$d的位置時，恰好所有粒子均能打到板上；
ab板上被打中區(qū)域的長度L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d；
答：（1）粒子剛進(jìn)入磁場時的速度大小為2v₀；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）將ab板平移到y(tǒng)=$\frac{4}{3}$d時所有粒子均能打到板上，此時ab板上被粒子打中區(qū)域的長度為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d．

點(diǎn)評 本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運(yùn)動，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．