Question

1．如圖所示，MN、PQ為光滑的平行直導(dǎo)軌，導(dǎo)軌與水平面成θ角放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，M、P兩點(diǎn)間接有阻值為R的電阻．一根質(zhì)量為m、阻值為R的均勻直金屬桿ab放在兩導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．導(dǎo)軌處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)軌平面向上，導(dǎo)軌和金屬桿接觸良好，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)．現(xiàn)讓ab桿由靜止開(kāi)始沿導(dǎo)軌下滑．經(jīng)過(guò)t時(shí)間，ab桿達(dá)到最大速度v_m，求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小；
（2）t時(shí)間內(nèi)ab桿下滑的距離大小．
（3）t時(shí)間內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)ab桿受到的安培力大小等于桿的重力沿斜面的分力時(shí)，ab桿達(dá)到最大速度v_m，根據(jù)這個(gè)條件列式，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）利用能量守恒定律列式，求出t時(shí)間內(nèi)ab桿下滑的距離大��；
（3）利用（1）和（2）的結(jié)論代入焦耳熱的計(jì)算公式求出t時(shí)間內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）當(dāng)ab桿受到的安培力大小等于桿的重力沿斜面的分力時(shí)，ab桿達(dá)到最大速度v_m
即F_安=BIL=mgsinθ
而感應(yīng)電流I=$\frac{E}{R+R}$
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv_m
解得勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）設(shè)ab桿下滑的距離大小為x
而平均感應(yīng)電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+R}$
平均感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{B•△S}{t}=\frac{BLx}{t}$
則下滑過(guò)程中安培力做的功為W=$-B\overline{I}Lx$=$-\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2Rt}$
在整個(gè)下滑過(guò)程中，由能量守恒與微元法，則有：
mgsinθ•x+W=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
解得x=$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$；
（3）由（1）可知B=$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；由（2）可知x=$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$
故t時(shí)間內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q=-W=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}^{2}}{2Rt}$=$\frac{m{v}_{m}^{3}}{gtsinθ}$
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\sqrt{\frac{2mgRsinθ}{{L}^{2}{v}_{m}}}$；
（2）t時(shí)間內(nèi)ab桿下滑的距離大小為$\frac{{v}_{m}^{2}}{gsinθ}$；
（3）t時(shí)間內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{m{v}_{m}^{3}}{gtsinθ}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查電磁感應(yīng)的功能關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到ab桿達(dá)到最大速度v_m的臨界條件，計(jì)算出磁感應(yīng)強(qiáng)度，再利用功能關(guān)系求出下滑的距離大小和焦耳熱．