Question

1．一質點從高處自由下落距離h后，落到傾角為45°的很長的光滑斜面上，與斜面發(fā)生多次碰撞，每次碰撞后沿斜面方向的分速度不變，垂直斜面的分速度大小不變，方向相反，如圖建立直角坐標系，重力加速度為g．求：
（1）第n次（n=1，2.3…）碰撞結束時質點速度的x分量和y分量；
（2）相鄰兩次碰撞之間的時間間隔．

Answer 1

分析 首先將自有下落分解為沿斜面方向和垂直斜面方向的運動，再結合題意分析兩個分運動的運動特點，求出時間間隔；再據運動學公式求出分運動的速度，在求出水平方向和豎直方向的速度即可．

解答 解：小球的運動可分解為沿斜面向下的勻加速和垂直斜面的來回反彈的運動，如圖．
小球與斜面每連續(xù)碰撞兩次之間的時間間隔就等于小球在垂直斜面方向上來回運動一次的時間，由于在垂直斜面的方向上，任一來回小球的位移為零，沿這個方向的分力不做功，因此每次與斜面碰前或碰后的瞬間在垂直斜面方向上的分速度大小始終不變，即相鄰碰撞兩次之間的時間間隔是相等的．
設小球第一次與斜面碰前的瞬時速度為v₀，所以有：2mgh=$\frac{1}{2}$$m{v}_{0}^{2}$
根據反射定律，第一次碰后的速度是水平的，可以分解沿斜面和垂直斜面方向的兩個分運動的初速度，分別都為$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
設每次碰撞之間的時間間隔為△t，據前面的分析有：△t=$\frac{2{v}_{1垂}}{{a}_{垂}}=\frac{2{v}_{0}}{g}$=$\sqrt{\frac{8h}{g}}$
第n此與斜面碰撞，小球所經歷的時間為：t_n=（n-1）△t
設此時沿斜面的分速度為：v_n=$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}+{a}_{∥}{t}_{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}g（n-1）△t$
建立直角坐標系，第n次碰后瞬間垂直斜面方向的分速度和沿斜面的分速度分別如上圖所示，因此水平上的為：v_x=${v}_{n}\frac{\sqrt{2}}{2}$+${v}_{0}•\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$
聯立以上解得：v_x=nv₀=n$\sqrt{2gh}$
順直速度為：v_y=${v}_{n}\frac{\sqrt{2}}{2}$-${v}_{0}•\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=（n-1）v₀=（n-1）$\sqrt{2gh}$
答：（1）第n次（n=1，2.3…）碰撞結束時質點速度的x分量和y分量分別為：v_x=n$\sqrt{2gh}$和v_y=（n-1）$\sqrt{2gh}$；
（2）相鄰兩次碰撞之間的時間間隔$\sqrt{\frac{8h}{g}}$．

點評 此題綜合性強，難度大，解決方法獨特，此題的關鍵是據運動的分解分解成兩個分運動，據此向下分析；二是此題計算量大，極易出錯．