Question

16．在xOy平面上以O(shè)為圓心、半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)，存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的帶電粒子，從原點(diǎn)O以某一初速度v₀沿y軸正方向開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后經(jīng)過(guò)x軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度與x軸方向夾角θ=30°，如圖所示，不計(jì)重力的影響，求：
（1）帶電粒子的初速度v₀的大��；
（2）帶電粒子由O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，求出粒子軌道半徑，然后應(yīng)用牛頓第二定律求出粒子初速度．
（2）根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式與轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，然后求出離開(kāi)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再求出總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
由幾何知識(shí)得：Rsin60°=$\frac{r}{2}$，
解得：R=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r，
洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
解得：v₀=$\frac{\sqrt{3}qBr}{3m}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角：α=120°，
粒子在圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₁=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{2πm}{3qB}$，
粒子離開(kāi)磁場(chǎng)到P點(diǎn)過(guò)程做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
位移：s=Rtan60°=r，
粒子離開(kāi)離開(kāi)磁場(chǎng)到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t₂=$\frac{s}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$，
帶電粒子由O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{2πm+3\sqrt{3}m}{3qB}$；
答：（1）帶電粒子的初速度v₀的大小為$\frac{\sqrt{3}qBr}{3m}$；
（2）帶電粒子由O到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{2πm+3\sqrt{3}m}{3qB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程、作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律周期公式可以解題，解題時(shí)注意幾何知識(shí)的應(yīng)用．