Question

19．如圖所示，是美國的“卡西尼”號探測器經(jīng)過長達7年的“艱苦”旅行，進入繞土星飛行的軌道．若“卡西尼”號探測器在半徑為R的土星上空離土星表面高h的圓形軌道上繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，已知引力常量為G，則下列關(guān)于土星質(zhì)量M和平均密度ρ的表達式正確的是（　�。�

• A． M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，ρ=$\frac{3π（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• B． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{2}}{G{t}^{2}}$，ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{2}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$
• C． M=$\frac{4{π}^{2}{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}}$，ρ=$\frac{3π{t}^{2}（R+h）^{3}}{G{n}^{2}{R}^{3}}$
• D． M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$，ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$

Answer 1

分析 探測器繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，求出探測器運行的周期．由土星的萬有引力提供探測器的向心力列方程求出土星的質(zhì)量，由密度公式求出土星的平均密度．

解答 解：探測器繞土星飛行，環(huán)繞n周飛行時間為t，則探測器運行的周期為 T=$\frac{t}{n}$
由萬有引力提供向心力得 G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
得：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}}$
由 ρ=$\frac{M}{V}$，V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$ 得：ρ=$\frac{3π{n}^{2}（R+h）^{3}}{G{t}^{2}{R}^{3}}$．故D正確、ABC錯誤．
故選：D

點評 本題題目看似很長，要耐心讀題，抓住要點，建立物理模型：探測器繞土星做勻速圓周運動，土星的萬有引力提供向心力．