Question

2．如圖所示，在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一與磁場(chǎng)平行的足夠大的感光板ab，在距ab為SO=d的S處有一粒子源，向紙面內(nèi)各個(gè)方向均勻發(fā)射速度大小都是v的粒子．已知粒子源每秒發(fā)射n個(gè)粒子，粒子質(zhì)量均為m，電荷量均為+q，其中沿與SO成30°角的粒子剛好與ab相切于P，求：
（1）粒子從S到P所用的時(shí)間；
（2）ab上感光部分的長(zhǎng)度；
（3）感光平板在一分鐘內(nèi)接收到的粒子數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期與粒子轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（2）求出粒子打到感光板上的邊界范圍，然后求出長(zhǎng)度．
（3）求出粒子打到感光板上的邊界范圍，求出角度，然后求出粒子數(shù)．

解答 解：（1）相切于P的粒子軌跡如圖1，粒子從S到P轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角

∠SO₁P=α=$\frac{π}{3}$  ①
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$
所用時(shí)間：t=$\frac{α}{2π}$T 　�、�
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   ③
且有：cosα=$\frac{R-d}{R}$　　　　④
解得：t=$\frac{2πd}{3v}$  ⑤；
（2）如圖2，粒子軌跡與ab交于Q點(diǎn)，當(dāng)SQ為粒子軌跡圓的直徑時(shí)，Q點(diǎn)為能打到ab下側(cè)的最遠(yuǎn)位置
OQ=$\sqrt{（4d）^{2}-wmiqrhe^{2}}$=$\sqrt{15}$d   ⑥
OP=2dsinα=$\sqrt{3}$d  ⑦
ab上感光部分的長(zhǎng)度PQ=（$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$）d  ⑧

（3）如圖3所示，設(shè)粒子從S射出的方向與OS的夾角為θ時(shí)，粒子的軌跡與ab相切于M點(diǎn)，
由幾何關(guān)系：sinθ=$\frac{R-d}{R}$   ⑨
則：θ=30°⑩β=120°⑪
β角范圍內(nèi)的粒子不能打到ab感光平板上
則每分鐘能打到ab上的粒子數(shù)N=（60n）×$\frac{2}{3}$=40n⑫
答：（1）粒子從S到P所用的時(shí)間為$\frac{2πd}{3v}$；
（2）ab上感光部分的長(zhǎng)度為（$\sqrt{3}$+$\sqrt{15}$）d；
（3）感光平板在一分鐘內(nèi)接收到的粒子數(shù)為40n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)解題的關(guān)鍵在于確定圓心和半徑，然后再由幾何關(guān)系即可求得要求的問(wèn)題．