Question

我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形的軌道繞月飛行．為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化．衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球．設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R₁，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r₁，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T．假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間（用M、m、R、R₁、r、r₁和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響）．
附：解答本題可能用到的數(shù)學(xué)知識(shí)：
若sinθ=a，則θ=arcsina；若cosθ=b，則θ=arccosb．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出地球和月球的平面示意圖，作出地月球面的公切線，找出衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋所在的圓�。�
根據(jù)萬(wàn)有引力定律求出探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期．
由幾何關(guān)系求出發(fā)出的信號(hào)被遮擋所在的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角，再結(jié)合周期求出信號(hào)被遮擋的時(shí)間．

解答：解：如圖，O和O′分別表示地球和月球的中心．在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心級(jí)OO′與地月球面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星圓軌道的交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，過(guò)A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)．衛(wèi)星在圓弧BE上運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋．
設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m₀，萬(wàn)有引力常量為G，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有

GMm

r2

=m

4π2

T

r  ①

Gmm0

r 2 1

=m₀

4π2

T1

r₁  ②
式中，T₁是探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期．
由①②式得(

T1

T

)2=

M

m

(

r1

r

)3③
設(shè)衛(wèi)星的微波信號(hào)被遮擋的時(shí)間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有

t

T1

=

α-β

π

④?
式中，α=∠CO′A，β=∠CO′B．
由幾何關(guān)系得  rcosα=R-R₁⑤r₁cosβ=R₁⑥
由③④⑤⑥式得t=

T

π

Mr 3 1 mr3

（arccos

R-R1

r

-arccos

R1

r1

）

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是要能夠根據(jù)題意作出物理情景圖象，找出所要求解的運(yùn)動(dòng)區(qū)域．
數(shù)學(xué)幾何關(guān)系的應(yīng)用也是解決本題的關(guān)鍵．