Question

8．如圖所示，在直角坐標系中，第一、四象限存在垂直紙面向里的足夠大勻強磁場，其磁感應強度為B．在第二象限存在與y軸反方向成30°的斜向下的勻強電場．一帶電量為q質(zhì)量為m的正離子，從坐標原點O位置以大小為$\frac{qBd}{m}$的速度與x軸成30°角度射向第四象限．經(jīng)磁場變向后，恰好在y軸上的某點進入第二象限．再從x軸上的A點離開電場．已知OA之間的距離為d．不計重力．試求
（1）離子在第一、四象限運動的時間
（2）電場強度E
（3）離子在A點的速度大小．

Answer 1

分析 （1）離子在磁場中做勻速圓周運動，周期為T=$\frac{2πm}{qB}$，離子進入第二象限時速度與y軸方向成60°，在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為120°，由公式t=$\frac{θ}{2π}$T，θ是軌跡對應的圓心角求解時間．
（2）離子垂直進入電場中做類平拋運動，由幾何知識得到沿初速度方向和垂直于初速度兩個方向的分位移，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合求解電場強度E．
（3）由動能定理求解離子在A點的速度大�。�

解答 解：（1）離子在磁場中做勻速圓周運動，周期為T=$\frac{2πm}{qB}$．
由離子初速度與x軸成30°，可得離子在磁場中轉(zhuǎn)過的圓心角為240°，運動時間為 t=$\frac{240°}{360°}$T=$\frac{4πm}{3qB}$
（2）由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$和v=$\frac{qBd}{m}$，可得離子在磁場中做圓周運動的軌道半徑為 R=d
又已知電場的方向，可知離子垂直進入電場，做類平拋運動，設離子從C點進入電場．
由幾何關系可得，OO′=OA=OC，且OC與電場平行，AO′與電場垂直，則可知沿電場力方向的位移為d，沿初速度方向的位移為$\sqrt{3}$d
則 d=$\frac{qE}{2m}{t}^{2}$；$\sqrt{3}$d=vt
可得 E=$\frac{2{B}^{2}qd}{3m}$
（3）由動能定理得：qEd=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 v_A=$\frac{\sqrt{21}Bqd}{3m}$
答：
（1）離子在第一、四象限運動的時間為$\frac{4πm}{3qB}$．
（2）電場強度E為$\frac{2{B}^{2}qd}{3m}$．
（3）離子在A點的速度大小為$\frac{\sqrt{21}Bqd}{3m}$．

點評 本題的解題關鍵是畫出帶電粒子的運動軌跡，運用幾何知識求出粒子在磁場中轉(zhuǎn)過的角度和電場中的兩個分位移大小，再由牛頓第二定律和運動學規(guī)律結(jié)合答題．