Question

4．宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，而不至于因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起．設(shè)二者的質(zhì)量分別為m₁和m₂，二者相距為L(zhǎng)，求：
（1）該雙星系統(tǒng)中兩顆星的軌道半徑；
（2）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)行的角速度．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，結(jié)合二者相距為L(zhǎng)，求出兩顆星的軌道半徑；
根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出角速度的大小．

解答 解：（1）這兩顆星萬(wàn)有引力提供向心力，有：
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁…①
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…②
①②兩式相除，得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$．
又因?yàn)镽₁+R₂=L，所以有：
R₁=$\frac{{m}_{2}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$，R₂=$\frac{{m}_{1}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$
（2）兩星的角速度相同，則：
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁ …③
G$\frac{{{m}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…④
③式消去m₁，④式消去m₂得：
$G\frac{{{m_1}+{m_2}}}{{{L^{{2^{\;}}}}}}={ω^2}（{R_1}+{R_2}）={ω^2}_{\;}L$
解得：ω=$\sqrt{\frac{G{（m}_{1}{+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．
答：（1）該雙星系統(tǒng)中兩顆星的軌道半徑分別是$\frac{{m}_{2}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$，$\frac{{m}_{1}L}{{{m}_{1}+m}_{2}}$；
（2）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)行的角速度是$\sqrt{\frac{G{（m}_{1}{+m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．