Question

4．豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由水平滑道AB與半徑為R的光滑的四分之一滑道CD組成，AB恰好與圓弧CD在C點(diǎn)相切，軌道放在光滑的水平面上，如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道的A端以初速度v₁=4m/s沖上水平滑道AB，沿著滑道運(yùn)動(dòng)，由DC弧滑下后最終停止在水平滑道AB的中間位置．已知水平滑道AB長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m，軌道ABCD的質(zhì)量為M=3kg．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小物塊在水平滑道上滑動(dòng)時(shí)系統(tǒng)損失的動(dòng)能△E_k和受到摩擦力f的大小．
（2）若小物塊剛好能到達(dá)D點(diǎn)，利用功能關(guān)系求圓弧滑道的半徑R為多大？
（3）在上述結(jié)論下，若增大小物塊的初速度，使得小物塊沖上軌道后可以達(dá)到最大高度（相對(duì)水平軌道）是1.5R，試分析小物塊最終能否停在滑道上？

Answer 1

分析 （1）小物塊與軌道A組成的系統(tǒng)，水平方向不受外力，動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒求出物塊停在軌道上時(shí)兩者共同的速度，即可求解系統(tǒng)損失的動(dòng)能△E_k．
在小物塊在軌道上運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，重力做功為0，摩擦力做負(fù)功-1.5fL，根據(jù)動(dòng)能定理求解f．
（2）小物塊恰好不從軌道的D端離開軌道時(shí)，到達(dá)D點(diǎn)時(shí)物塊與軌道的速度相同，由水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒列式求出R．
（3）假定物塊最終停在水平軌道上，根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和能量守恒列式，求出物塊在水平軌道滑動(dòng)的路程，與軌道長(zhǎng)度進(jìn)行比較，即可分析．

解答 解：（1）從小物塊沖上軌道到滑回中點(diǎn)的過(guò)程中，系統(tǒng)水平方向的合外力為零，取向左為正方向，由水平方向動(dòng)量守恒得：
  mv₁=（m+M）v₂；
得 v₂=$\frac{1}{4}{v}_{1}$=1m/s
故系統(tǒng)損失的動(dòng)能△E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}$=6J
系統(tǒng)沒有外力做功，由能量守恒得：△E_k=f•$\frac{3}{2}L$
解得 f=4N
（2）從小物塊沖上軌道到剛好到達(dá)D占，此時(shí)它與軌道有共同的速度，由水平方向動(dòng)量守恒有：mv₁=（m+M）v₂；
可知v₂=1m/s
由能量守恒有：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{2}^{2}$+mgR+fL
即得 mgR=$\frac{fL}{2}$
解得 R=0.2m
（3）假設(shè)物塊最終能停在滑道上．則物塊運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)和停在滑道上時(shí)，兩者均共速，
（m+M）v₃=（m+M）v₄；
且這一過(guò)程中，系統(tǒng)沒有外力做功，由能量守恒有
  1.5mgR+$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{3}^{2}$=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{4}^{2}$+fx
代入f和R得：x=$\frac{3}{4}L$＜L，所以假設(shè)成立，物塊最終停在距軌道左端$\frac{1}{4}$L=0.25m處．
答：
（1）小物塊在水平滑道上滑動(dòng)時(shí)系統(tǒng)損失的動(dòng)能△E_k為6J，受到摩擦力f的大小為4N．
（2）若小物塊剛好能到達(dá)D點(diǎn)，圓弧滑道的半徑R為0.2m．
（3）物塊最終停在距軌道左端0.25m處．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握住物塊在滑道上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)的水平方向動(dòng)量守恒和能量守恒，要注意摩擦生熱Q=f△s，△s是相對(duì)路程．