Question

6．如圖所示，ACB為光滑弧形槽，弧形槽半徑為R，C為弧形槽最低點(diǎn)，R遠(yuǎn)大于$\widehat{AB}$的弧長．甲球從弧形槽的球心處自由下落，乙球從A點(diǎn)由靜止釋放，問：
（1）兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時間之比．
（2）若在圓弧的最低點(diǎn)C的正上方h處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時將乙球從圓弧左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度是多少？

Answer 1

分析 （1）甲球做自由落體運(yùn)動，乙球近似看做單擺，根據(jù)各自的規(guī)律即可求得時間的比值；
（2）若使甲、乙兩球在圓弧最低點(diǎn)C處相遇，要考慮到乙運(yùn)動的周期性，然后列出等式即可

解答 解：（1）甲球做自由落體運(yùn)動R=$\frac{1}{2}$gt${\;}_{1}^{2}$
所以：t₁=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$乙球沿圓弧做簡諧運(yùn)動（由于B→C?R，可認(rèn)為擺角θ＜5°）．此振動與一個擺長為R的單擺振動模型相同，故此等效擺長為R，因此乙球第1次到達(dá)C處的時間為：
t₂=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×2π$\sqrt{\frac{R}{g}}$，所以t₁：t₂=$\frac{2\sqrt{2}}{π}$
（2）甲球從離弧形槽最低點(diǎn)h高處開始自由下落，到達(dá)C點(diǎn)的時間為t_甲=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$由于乙球運(yùn)動的周期性，所以乙球到達(dá)C點(diǎn)的時間為
t_乙=$\frac{T}{4}$+$\frac{T}{4}n$=$\frac{2n+1}{2}π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$，n=0，1，2，…

由于甲、乙在C點(diǎn)相遇，故t_甲=t_乙
解得h=$\frac{（2n+1）^{2}}{8}$π²R    n=0，1，2，…

答：（1）兩球第1次到達(dá)C點(diǎn)的時間之比是 $\frac{2\sqrt{2}}{π}$        
（2）若在圓弧的最低點(diǎn)C的正上方h處由靜止釋放小球甲，讓其自由下落，同時乙球從圓弧左側(cè)由靜止釋放，欲使甲、乙兩球在圓弧最低點(diǎn)C處相遇，則甲球下落的高度$\frac{（2n+1）^{2}}{8}$π²R n=0，1，2，…

點(diǎn)評 該題的第二問看似是第一問的重復(fù)，而實(shí)際上要考慮到乙運(yùn)動的周期性，寫出乙到達(dá)最低點(diǎn)的時刻的通式是解題的關(guān)鍵．