Question

12．如圖所示，某同學(xué)在一輛車上蕩秋千，開始時車輪被鎖定，車的右邊有一個和地面相平的沙坑，且右端和沙坑的左邊緣平齊；當(dāng)同學(xué)擺動到最大擺角θ=60°時，車輪立即解除鎖定，使車可以在水平地面無阻力運動，該同學(xué)此后不再做功，并可以忽略自身大小，已知秋千繩子長度L=4.5m，該同學(xué)和秋千板的質(zhì)量m=50kg，車輛和秋千支架的質(zhì)量M=200kg，重力加速度g=10m/s²，試求：
（1）該同學(xué)擺到最低點時的速率；
（2）在擺到最低點的過程中，繩子對該同學(xué)做的功；
（3）該同學(xué)到最低點時，順勢離開秋千板，他落入沙坑的位置距離左邊界多遠(yuǎn)？已知車輛長度s=3.6m，秋千架安裝在車輛的正中央，且轉(zhuǎn)軸離地面的高度H=5.75m．

Answer 1

分析 （1）人向下運動的過程中，人與車在水平方向的動量守恒，由此求出人與車沿水平方向的速度大小關(guān)系，然后結(jié)合機(jī)械能守恒即可求出；
（2）對人應(yīng)用動能定理即可求出繩子做的功；
（3）由平均動量守恒求出人到達(dá)最低點時，車的位移；人離開秋千后做平拋運動，將運動分解即可求出人沿水平方向的位移，然后由空間關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）人向下運動的過程中，人與車在水平方向的動量守恒，選取向右為正方向，則：
mv₁-Mv₂=0
人向下運動的過程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則：
mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立得：v₁=6m/s
（2）對人向下運動的過程中使用動能定理，得：
mgL（1-cos60°）+W_繩=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：W_繩=-225J
（3）人在秋千上運動的過程中，人與車組成的系統(tǒng)在水平方向的平均動量是守恒的，則：
m$\overline{{v}_{1}}-M\overline{{v}_{2}}$=0
由于運動的時間相等，則：mx₁-Mx₂=0
又：x₁+|x₂|=L•cos30°
聯(lián)立得：x₂=-0.779m
即車向左運動了0.779m
人離開秋千后做平拋運動，運動的時間為：
t=$\sqrt{\frac{2（H-L）}{g}}=\sqrt{\frac{2×（5.75-4.5）}{10}}$=0.5s
人沿水平方向的位移為：x=v₁t=6×0.5=3m
所以人的落地點到沙坑邊緣的距離為：X=x+x₂-$\frac{s}{2}$
代入數(shù)據(jù)，聯(lián)立得：X=0.421m
答：（1）該同學(xué)擺到最低點時的速率是6m/s；
（2）在擺到最低點的過程中，繩子對該同學(xué)做的功是-225J；
（3）該同學(xué)到最低點時，順勢離開秋千板，他落入沙坑的位置距離左邊界為0.421m．

點評 該題中涉及的過程多，用到的知識點多，在解答的過程中要注意對情景的分析，尤其要注意人在秋千上運動的過程中，車不是靜止的，而是向左運動！