Question

16．如圖所示，在xOy坐標(biāo)平面的第一象限內(nèi)有沿-y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在第四象限內(nèi)有沿+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且電場(chǎng)強(qiáng)度大小與第一象限相同．現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的質(zhì)點(diǎn)，以某一初速度沿-x方向從坐標(biāo)為（31，1）的P點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，第一次經(jīng)過x軸的點(diǎn)為Q點(diǎn)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（l，0），經(jīng)過勻速圓周運(yùn)動(dòng)后第二次過x軸的點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．若質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初動(dòng)能為2mgl，求：
（1）粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速率v和電場(chǎng)強(qiáng)度E的大�。�
（2）粒子在第四象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與重力合力為零，由平衡條件求出電場(chǎng)強(qiáng)度；應(yīng)用動(dòng)能定理求出粒子的速度；
（2）電場(chǎng)中，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律結(jié)合求時(shí)間．磁場(chǎng)中，根據(jù)軌跡的圓心角求出時(shí)間．

解答 解：（1）帶電質(zhì)點(diǎn)從第一次經(jīng)過x軸到第二次過x軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故重力與電場(chǎng)力平衡．
由平衡條件得：qE=mg，
解得：E=$\frac{mg}{q}$  ①
從P點(diǎn)到Q點(diǎn)，由動(dòng)能定理得：
（mg+qE）l=$\frac{1}{2}$mv²-2mgl  ②
解得：v=2$\sqrt{2gl}$   ③
（2）設(shè)其初速度為v₀，初動(dòng)能：$\frac{1}{2}$mv₀²=2mgl，
解得：v₀=2$\sqrt{gl}$   ④
設(shè)帶電質(zhì)點(diǎn)在Q點(diǎn)時(shí)速度與x軸夾角為θ，cosθ=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：θ=45°  ⑤
由幾何關(guān)系可得：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$l  ⑥
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$  ⑦
解得：B=$\frac{4m}{q}$$\sqrt{\frac{q}{l}}$，
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$ ⑧
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{8}$$\sqrt{\frac{l}{g}}$；
答：（1）粒子經(jīng)過Q點(diǎn)時(shí)的速率v為2$\sqrt{2gl}$，電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{mg}{q}$；
（2）粒子在第四象限運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為$\frac{π}{8}$$\sqrt{\frac{l}{g}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件、動(dòng)能定理與牛頓第二定律可以解題；粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，能正確的畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系確定各量之間的關(guān)系．