Question

18．如圖所示的xOy平面，在第二象限有一半徑為R的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，圓心為O′（-R，R），磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．在第一象限的虛線上方存在一沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，虛線為電場(chǎng)的邊界，其方程為y=$\frac{8}{3R}$x（R-x）．在A點(diǎn)有一粒子源，能不斷向x軸上方各個(gè)方向均勻發(fā)射質(zhì)量為m，電荷量為q（q＞0）的同種帶電粒子，所有粒子發(fā)射速率相同．已知沿y軸正方向入射的粒子通過C點(diǎn)（0，R）后，沿與x軸正方形成53°角方向斜向下打到B點(diǎn)，B、D點(diǎn)坐標(biāo)分別為（R，0），（O，$\frac{R}{2}$），不計(jì)粒子間的相互作用和重力．sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：
（1）通過y軸上OD間的粒子占發(fā)射總粒子數(shù)的比例；
（2）第一象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E．

Answer 1

分析 （1）先由左手定則和圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)分析出粒子帶正電．畫出粒子的軌跡如圖所示，與x軸成θ角入射的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為F，軌跡交磁場(chǎng)邊界于G點(diǎn)，則四邊形O′AFG為菱形，則GF平行于O′A，說明粒子在G點(diǎn)的速度沿x軸正方向．根據(jù)幾何知識(shí)分析θ的大小，即可求解．
（2）粒子從C點(diǎn)以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)．在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，然后沿直線勻速到達(dá)B點(diǎn)．粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，列出動(dòng)力學(xué)方程，再結(jié)合位移的分解和幾何知識(shí)解答．

解答 解：（1）由左手定則和圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，粒子帶正電，如圖所示，與x軸成θ角入射的粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為F，軌跡交磁場(chǎng)邊界于G點(diǎn)，則四邊形O′AFG為菱形，則GF平行于O′A，即粒子在G點(diǎn)的速度沿x軸正方向．
若該粒子恰好經(jīng)過D點(diǎn)，因DO=$\frac{R}{2}$，則GH=HF=$\frac{R}{2}$，θ=60°，故通過y軸上OD間的粒子占發(fā)射總粒子數(shù)的$\frac{1}{3}$；
（2）設(shè)粒子從C點(diǎn)以速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)．在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t時(shí)間到達(dá)虛線邊界上（x₀，y₀）點(diǎn)，然后沿直線勻速到達(dá)B點(diǎn)，粒子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，洛倫茲力提供向心力，即 qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得
   x₀=vt
  R-y₀=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}{t}^{2}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)得 $\frac{{y}_{0}}{R-{x}_{0}}$=tan53°
  y₀=$\frac{8}{3R}$x₀（R-x₀）
聯(lián)立以上各式，解得 E=$\frac{8q{B}^{2}R}{3m}$
答：
（1）通過y軸上OD間的粒子占發(fā)射總粒子數(shù)的$\frac{1}{3}$；
（2）第一象限內(nèi)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E為$\frac{8q{B}^{2}R}{3m}$．

點(diǎn)評(píng) 此題涉及兩等圓相交和類平拋運(yùn)動(dòng)分解．粒子在圓形磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，當(dāng)磁場(chǎng)圓屯粒子軌跡圓半徑相等時(shí)，往往都需要作出兩交點(diǎn)和兩圓心的連線，構(gòu)成一個(gè)菱形，其目的是證明粒子出射時(shí)速度的特征．粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)往往將運(yùn)動(dòng)從位移、速度兩個(gè)角度進(jìn)行分解．