Question

16．如圖甲所示，在xOy平面的第三象限內(nèi)有一個(gè)粒子發(fā)射裝置S，它可以向第一象限0°～90°范圍內(nèi)的不同方向發(fā)射速率為v₀=1.0×10³m/s，比荷為$\frac{q}{m}$=1×10⁵C/kg的大量帶負(fù)電粒子．現(xiàn)在x軸上方的某區(qū)域內(nèi)加一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使所有粒子經(jīng)過磁場(chǎng)后能在0≤y≤0.1m的范圍內(nèi)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)．粒子越過磁場(chǎng)區(qū)域后進(jìn)入一個(gè)由平行板電容器MN所產(chǎn)生的正方形電場(chǎng)區(qū)域，電容器兩極板上的電壓隨時(shí)間變化的圖象如圖乙所示，已知電容器的左右兩端位于x₁=0.15m，x₂=0.25m處，上下兩端位于y₁=0.1m、y₂=0m處，在x=0.3m處有一個(gè)平行于y軸的熒屏L，粒子打到熒光屏后能夠發(fā)光．若所有粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡都在一行于紙面的平面內(nèi)，且不計(jì)粒子的重力、粒子間的相互作用及粒子落在極板和熒光屏上對(duì)電壓的影響．求：

（1）偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)在圖中坐標(biāo)系中分布的最小面積（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
（3）電容器兩極板間有電壓和無電壓時(shí)熒光屏上平行于y軸方向發(fā)光長(zhǎng)度的比值．

Answer 1

分析 此題比較含蓄，磁場(chǎng)區(qū)域、粒子運(yùn)動(dòng)軌跡未知，偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)又是變化的，所以要從一些特殊情況從發(fā)進(jìn)行分析．
（1）所有粒子經(jīng)過磁場(chǎng)后能在0≤y≤0.1m的范圍內(nèi)沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，所以從特殊情況----沿y軸方向射入的粒子考慮：經(jīng)過磁場(chǎng)后能在該范圍內(nèi)水平射入平行板，則粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=0.1m，且圓心在x軸上．這樣由洛侖茲力提供向心力就可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界顯然就是沿y軸正方向射入時(shí)，在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡，下邊界就要從任意角度去考慮，可以從離開磁場(chǎng)速度方向水平向右出發(fā)，這點(diǎn)即是粒子的圓周運(yùn)動(dòng)上的點(diǎn)，同時(shí)又是磁場(chǎng)的下邊界，通過數(shù)學(xué)關(guān)系求出該點(diǎn)的軌跡方程，從而確定最小面積．
（3）至于粒子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，有電壓做類平拋運(yùn)動(dòng)，無電壓做直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以求出和光長(zhǎng)度的比值．

解答 解：（1）粒子沿y軸正方向射入第一象限后，都能平行于x軸射出，在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)90°的圓心角，其圓心在x軸上，圓的半徑為
r=0.1m     ①
由洛侖茲力提供向心力則有：
$Bq{v}_{0}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$      ②
所以：$B=\frac{m{v}_{0}}{qr}=\frac{1×1{0}^{3}}{0.1×1×1{0}^{5}}T=0.1T$
（2）設(shè)粒子以任意夾角射入，經(jīng)磁場(chǎng)作用后能從點(diǎn)P（x，y）離開磁場(chǎng)并沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，其圓心為Q，由幾何關(guān)系可知P點(diǎn)的軌跡方程為：
x²+（r-y）²=r²    ③
由軌跡方程可知：磁場(chǎng)下邊界是圓心在（0，r）半徑也為r的1/4圓弧．磁場(chǎng)區(qū)域如圖中陰影面積所示，由圖可知磁場(chǎng)的最小面積為
$S=2（\frac{π{r}^{2}}{4}-\frac{{r}^{2}}{2}）$     ④
即$S=\frac{π-2}{200}{m}^{2}=5.7×1{0}^{-3}{m}^{2}$
（3）當(dāng)極板電壓U_MN=0 的半個(gè)周期內(nèi)，板間無電場(chǎng)，粒子直線運(yùn)動(dòng)打到熒光屏上，屏上發(fā)光長(zhǎng)度
Y₁=r=0.1m     ⑤
加上電壓后，粒子垂直進(jìn)入電場(chǎng)區(qū)域做類平拋運(yùn)動(dòng)，沿x軸方向有：
$t=\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{v}_{0}}=1{0}^{-4}s$      ⑥
沿y軸方向上的側(cè)向位移：
$△y=\frac{1}{2}×\frac{Eq}{m}×{t}^{2}$     代入得△y=0.05m         ⑦
由粒子的側(cè)向位移可知，從y=0.05m處射出的粒子恰好沿上邊緣飛出，其上方的粒子將打在極板上．
飛出電場(chǎng)后的粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)熒光屏，由平行四邊形的邊角關(guān)系可知，屏上發(fā)光的長(zhǎng)度：
y₂=△Y=0.05m      ⑧
由于粒子穿過電場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間t遠(yuǎn)小于電壓的變化周期，因此是否加電壓，屏上發(fā)光的部分不會(huì)因視覺暫留而影響．
故屏上發(fā)光部分的長(zhǎng)度之比為：
$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}=\frac{1}{2}$          ⑨
答：（1）偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的感應(yīng)強(qiáng)度為0.1T．
（2）偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)在圖中坐標(biāo)系中分布的最小面積為5.7×10^-3m²．
（3）電容器兩極板間有電壓和無電壓時(shí)熒光屏上平行于y軸方向發(fā)光長(zhǎng)度的比值為1：2．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及的問題是帶電粒子先在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，難點(diǎn)在于進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子方向未知，所以運(yùn)動(dòng)軌跡不定．重點(diǎn)是從磁場(chǎng)區(qū)域離開后粒子的速度方向水平，這樣可以從粒子圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡從而確定磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．至于進(jìn)入電場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)，按平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律處理即可．