Question

4．一宇航員在某星球表面以初速度為v₀，豎直向上拋出一個小球，他測得小球從拋出到落回星球表面所用時間為t，已知該星球半徑為R，星球可視為質(zhì)量分布均勻的球體，該星球的自轉(zhuǎn)周期為T，已知萬有引力恒量為G，忽略空氣阻力，求：
（1）該星球的密度為多少？該星球的第一宇宙速度為多少？
（2）若發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，同步衛(wèi)星離該星球表面的高度為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度時間公式，結(jié)合豎直上拋的對稱性求出星球表面的重力，根據(jù)萬有引力等于重力求出星球的質(zhì)量，從而求出星球的密度．根據(jù)重力提供向心力求出星球的第一宇宙速度．
（2）抓住同步衛(wèi)星的周期與星球的自轉(zhuǎn)周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力求出同步衛(wèi)星離星球表面的高度．

解答 解：（1）星球表面的重力加速度g=$\frac{{v}_{0}}{\frac{t}{2}}=\frac{2{v}_{0}}{t}$，
根據(jù)GM=gR²得，星球的質(zhì)量M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$，
則星球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$．
根據(jù)mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，行星的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$．
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，
同步衛(wèi)星離星球表面的高度h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R，
又GM=$g{R}^{2}=\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{t}$，
則h=$\root{3}{\frac{{v}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}}$-R．
答：（1）星球的密度為$\frac{3{v}_{0}}{2πRGt}$，星球的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2{v}_{0}R}{t}}$；
（2）同步衛(wèi)星離該星球表面的高度為$\root{3}{\frac{{v}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}t}}$-R．

點(diǎn)評 本題考查了萬有引力定律和運(yùn)動學(xué)公式的綜合運(yùn)用，通過運(yùn)動學(xué)公式求出星球表面的重力加速度是解決本題的關(guān)鍵，掌握萬有引力定律的兩個重要理論，并能靈活運(yùn)用．