Question

16．如圖所示，坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一點(diǎn)狀的放射源，它向xOy平面內(nèi)的x軸上方以相同的速率V₀向各個(gè)方向發(fā)射a粒子．在0≤y＜d內(nèi)有沿+y方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=$\frac{3m{v}_{0}}{2qd}$，其中q與m分別為a粒子的電荷量和質(zhì)量；在d＜y＜$\frac{7d}{4}$內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．a(chǎn)b為放置于y=$\frac{7d}{4}$處一塊很大的平面感光板，觀察發(fā)現(xiàn)此時(shí)恰無粒子打到ab板上．不計(jì)a粒子間的相互作用及重力，求：
（1）沿+x方向射出的a粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度'V的大小；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）將ab板沿y軸平移到什么位置時(shí)所有粒子均能打到板上？并求出此時(shí)ab板上被a粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度L．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出α粒子剛進(jìn)人磁場(chǎng)時(shí)的速度．
（2）粒子沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)的角度最大，若該粒子進(jìn)入磁場(chǎng)不能打在ab板上，則所有粒子均不能打在ab板上．根據(jù)帶電粒子在電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)，求出進(jìn)入磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角度，結(jié)合幾何關(guān)系得出軌道半徑，從而得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大�。�
（3）沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．根據(jù)帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大小得出磁場(chǎng)的寬度，從而確定出ab板移動(dòng)的位置，根據(jù)幾何關(guān)系求出ab板上被α粒子打中的區(qū)域的長(zhǎng)度

解答 解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理：qEd=$\frac{1}{2}$mv_t²-$\frac{1}{2}$mv₀²，解得：v_t=2v₀；
（2）根據(jù)上題結(jié)果可知v_t=2v₀，對(duì)于沿x軸正方向射出的粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)與x軸正方向夾角θ=$\frac{π}{3}$，
其在電場(chǎng)中沿x方向的位移：x₁=v₀t=v₀$\sqrt{\frac{2d}{\frac{qE}{m}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$d，
易知若此粒子不能打到ab板上，則所有粒子均不能打到ab板，因此此粒子軌跡必與ab板相切，
可得其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑：r=$\frac{2}{3}$d，
又根據(jù)洛倫茲力提供向心力，qv_tB=m$\frac{{v}_{t}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）易知沿x軸負(fù)方向射出的粒子若能打到ab板上，則所有粒子均能打到板上．其臨界情況就是此粒子軌跡恰好與ab板相切．
由圖可知此時(shí)磁場(chǎng)寬度為原來的$\frac{1}{3}$，
即當(dāng)ab板位于：y=$\frac{4}{3}$d的位置時(shí)，恰好所有粒子均能打到板上；
ab板上被打中區(qū)域的長(zhǎng)度L=2x₁+r=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d；
答：（1）沿+x方向射出的a粒子剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小為2v₀；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{3m{v}_{0}}{qd}$；
（3）將ab板沿y軸平移到y(tǒng)=$\frac{4}{3}$d的位置時(shí)所有粒子均能打到板上，出此時(shí)ab板上被a粒子打中區(qū)域的長(zhǎng)度L為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$d+$\frac{2}{3}$d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵確定粒子運(yùn)動(dòng)的臨界情況，通過幾何關(guān)系解決，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．