Question

13．如圖，有一個光滑軌道，水平部分MN段和圓形部分NPQ平滑連接，圓形軌道的半徑為R；質(zhì)量為m的A球以v₀=4$\sqrt{gR}$的速度沿軌道向右運(yùn)動，與靜止在水平軌道上質(zhì)量為2m的B球發(fā)生碰撞，碰撞中兩個小球組成的系統(tǒng)共損失的機(jī)械能為碰撞前A球動能的一半．兩球可視為質(zhì)點(diǎn)．試通過計(jì)算判斷碰撞后B球能否達(dá)到圓形軌道的最高點(diǎn)．

Answer 1

分析 A、B球碰撞水平方向不受外力，動量守恒；碰撞中兩個小球組成的系統(tǒng)共損失的機(jī)械能為碰撞前A球動能的一半；由此列出表達(dá)式可解出v_B．B球剛好能到達(dá)最高點(diǎn)滿足重力充當(dāng)圓周運(yùn)動的向心力；由機(jī)械能守恒求得最低點(diǎn)速度v_N．比較v_B、v_N即能判斷碰撞后B球能否達(dá)到圓形軌道的最高點(diǎn)．

解答 解：設(shè)碰后A、B球速度分別為v_A、v_B，由動量守恒知
mv₀=mv_A+2mv_B
碰撞中兩個小球組成的系統(tǒng)共損失的機(jī)械能為碰撞前A球動能的一半
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}2{mv}_{B}^{2}$
聯(lián)立以上兩式解得
v_B=$\frac{{v}_{0}}{2}$=2$\sqrt{gR}$   v_B=$\frac{{v}_{0}}{6}$（舍去）
設(shè)B球在最低點(diǎn)速度為v_N時剛好能運(yùn)動到圓形軌道的最高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒可知
$\frac{1}{2}2{mv}_{N}^{2}=2mg2R+\frac{1}{2}2m{v}_{P}^{2}$
由P點(diǎn)重力充當(dāng)圓周運(yùn)動的向心力可知
$2mg=2m\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$
聯(lián)立以上兩式解得
v_N=$\sqrt{5gR}$
由于v_B＜v_N，所以碰后B球不能到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)．
答：碰后B球不能到達(dá)圓形軌道的最高點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題動量守恒、碰撞中損失的機(jī)械能列式的解出v_B的關(guān)鍵；注意剛好能運(yùn)動到圓形軌道的最高點(diǎn)是臨界值狀態(tài)，同時滿足機(jī)械能守恒．