Question

13．如圖所示為“割繩子”游戲中的一幅截圖，游戲中割斷左側(cè)豎直繩子時(shí)若糖果能砸到正下方的星星，就能得分．糖果一定能碰到星星嗎？現(xiàn)將其中的物理問題抽象出來進(jìn)行研究：三根不可伸長(zhǎng)的輕繩共同系住一顆質(zhì)量為m的糖果（可視為質(zhì)點(diǎn)），設(shè)從左到右三根輕繩的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)₁、L₂和L₃，其中最左側(cè)的繩子處于豎直且張緊的狀態(tài)，另兩根繩均處于松弛狀態(tài)，三根繩的上端分別固定在同一水平線上，且相鄰兩懸點(diǎn)間距離均為d，糖果正下方的一顆星星與糖果距離為h．已知繩子由松弛到張緊時(shí)沿繩方向的速度分量即刻減為零，現(xiàn)將最左側(cè)的繩子割斷．（已知m=25g，d=3cm，L₁=3cm，h=1cm）求：
（1）只要繩長(zhǎng)滿足什么條件糖果就能經(jīng)過正下方第一顆星星處？
（2）若在割斷繩子到糖果運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程，L₃始終處于松弛狀態(tài)，L₂的長(zhǎng)度剛好滿足（1）中的臨界狀態(tài)，求糖果到達(dá)最低點(diǎn)動(dòng)能為多少？

Answer 1

分析 糖果通過正下方第一顆星星前，繩2和繩3不能繃緊；繞中間點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩1被切斷，繩2繃緊時(shí)有速度損失，可以由初態(tài)到繩2繃緊前使用動(dòng)能定理求解；最低點(diǎn)之前可能有兩次速度損失．

解答 解：（1）小球通過正下方第一顆星星之前，繩2和繩3應(yīng)剛好伸直或仍然彎曲，則需同時(shí)滿足${L}_{2}≥\sqrt{{（{L}_{1}+h）}^{2}+mu22gaa^{2}}=5cm$和${L}_{3}≥\sqrt{{（{L}_{1}+h）}^{2}+{4d}^{2}}=\sqrt{52}cm$； 
（2）從小球自由下落到L₂剛剛伸直，由動(dòng)能定理得$mg（\sqrt{{{L}_{2}}^{2}-qa2k4gk^{2}-{L}_{1}}）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，在繩2繃緊后，沿繩方向速度會(huì)損失掉，剩余速度為${v}_{y}=v\frac6ycygsa{{L}_{2}}$，
解以上兩式得$\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}=mg\frac{6ue2ksa^{2}}{{{L}_{2}}^{2}}（\sqrt{{{L}_{2}}^{2}-kgsioug^{2}}-1）$，
以此狀態(tài)為初態(tài)，以糖果剛剛到達(dá)最低點(diǎn)為末態(tài)，由動(dòng)能定理得
$mg（{L}_{2}-\sqrt{{{L}_{2}}^{2}-agoas6m^{2}}）{=E}_{K}-\frac{1}{2}m{{v}_{y}}^{2}$，
解得E_K=3.4×10^-3J
答：（1）只要繩長(zhǎng)滿足L₂≥5cm且${L}_{3}≥\sqrt{52}cm$，糖果就能經(jīng)過正下方第一顆星星處；
（2）若在割斷繩子到糖果運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程，L₃始終處于松弛狀態(tài)，L₂的長(zhǎng)度剛好滿足（1）中的臨界狀態(tài)，則糖果到達(dá)最低點(diǎn)動(dòng)能為3.4×10^-3J．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及動(dòng)能定理、速度分解、運(yùn)動(dòng)過程分析等內(nèi)容，是一道綜合題，難底較大，過程的選擇和速度分解的建軸方向是關(guān)鍵．