Question

16．萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)是17世紀最偉大的物理成就之一．牛頓通過下述兩個步驟完成了萬有引力定律的數(shù)學(xué)推導(dǎo)．
（1）在前人研究的基礎(chǔ)上，牛頓證明了“行星和太陽之間的引力跟行星的質(zhì)量成正比，跟行星到太陽之間的距離的二次方成反比”．
（2）據(jù)牛頓第三定律，牛頓提出：“既然這個引力與行星的質(zhì)量成正比，當然也應(yīng)該和太陽的質(zhì)量成正比”．
請你根據(jù)上述推導(dǎo)思路，完成萬有引力定律數(shù)學(xué)表達式的推導(dǎo)．（注意：要說明各個字母的含義及推導(dǎo)依據(jù)）

Answer 1

分析 太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動需要的向心力，根據(jù)開普勒周期定律可以推導(dǎo)出太陽對行星的引力跟行星的質(zhì)量成正比，跟行星到太陽的距離的二次方成反比，再根據(jù)牛頓第三定律，行星吸引太陽的力跟太陽吸引行星的力大小相等并且具有相同的性質(zhì)，即行星對太陽的吸引力也應(yīng)該和太陽的質(zhì)量成正比．

解答 解：設(shè)行星的質(zhì)量為m，速度為v，行星到太陽距離為r，則行星繞太陽做勻速圓周運動的向心力：$F=m\frac{{v}^{2}}{r}$
又行星運動速度v和周期T的關(guān)系：$v=\frac{2πr}{T}$
代入向心力公式得：$F=4{π}^{2}（\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}）\frac{m}{{r}^{2}}$
根據(jù)開普勒行星運動的規(guī)律：$\frac{{T}^{2}}{{r}^{3}}=k$（常數(shù)）
得出結(jié)論：行星和太陽之間的引力跟行星的質(zhì)量成正比，跟行星到太陽的距離的二次方成反比，即：F∝$\frac{m}{{r}^{2}}$
根據(jù)牛頓第三定律，行星吸引太陽的力跟太陽吸引行星的力大小相等并且具有相同的性質(zhì)，即行星對太陽的吸引力也應(yīng)該和太陽的質(zhì)量成正比．用M表示太陽的質(zhì)量，F(xiàn)′表示行星對太陽的吸引力：F′∝且：F=F′
可得：F∝$\frac{Mm}{{r}^{2}}$ 寫成等式：$F=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$

點評 本題要掌握引力提供向心力和開普勒周期定律，要掌握牛頓第三定律，知道太陽對行星的引力與行星對太陽的引力具有相同的性質(zhì)．