Question

如圖所示，有水平邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，下方磁場(chǎng)無(wú)限大．一個(gè)質(zhì)量為m、邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、總電阻為R的正方形導(dǎo)線框abcd，從磁場(chǎng)上方某處由靜止開(kāi)始下落．a(chǎn)b邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框速度的大小為V₁．下落過(guò)程中，線框平面始終保持在同一個(gè)豎直面內(nèi)，ab邊與磁場(chǎng)的水平邊界線平行．在線框運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，不計(jì)空氣阻力．重力加速度大小為g，求：
（1）線框ab邊距磁場(chǎng)上邊界距離h
（2）線框ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框中感應(yīng)電流的大小和方向
（3）若線框cd邊剛要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框的加速度大小為

g

4

，方向豎直向下，試求此時(shí)線框速度V₂的大小，并計(jì)算線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）線框自由下落的過(guò)程機(jī)械能守恒，則可求出高度h．
（2）線框ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，由E=BIL、I=

E

R

，即可求出感應(yīng)電流的大小，根據(jù)右手定則判斷感應(yīng)電流的方向．
（3）若線框cd邊剛要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框的加速度大小為

g

4

，方向豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律和安培力與速度的關(guān)系式，列式求出此時(shí)線框速度V₂的大�。�
線框從開(kāi)始下落到ab剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框的重力勢(shì)能減小mg（h+L），轉(zhuǎn)化為線框的動(dòng)能和內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律可求得線框在進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量

解答：解：（1）線框cd邊進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為V₁，由機(jī)械能守恒有：mgh=

1

2

mV

2 1

則得：h=

V 2 1

2g

（2）線框ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=BLV₁，
感應(yīng)電流為：I=

E

R

得：I=

BLV1

R

根據(jù)右手定則得，感應(yīng)電流的方向是a→b→c→d→a
（3）線框cd邊剛要進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-

B2L2V2

R

=ma，
由題意 a=

g

4

，
解得：V₂=

3mgR

4B2L2

又由能量守恒得：mgL=Q+

m V 2 2

2

-

m V 2 1

2

則得，線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中的焦耳熱：Q=mgL+

m V 2 1

2

-

9m3g2R2

32

答：（1）線框ab邊距磁場(chǎng)上邊界距離h為

V 2 1

2g

．
（2）線框ab邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框中感應(yīng)電流的大小為

BLV1

R

，方向是a→b→c→d→a．
（3）此時(shí)線框速度V₂的大小為

3mgR

4B2L2

，線框進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中的焦耳熱為mgL+

m V 2 1

2

-

9m3g2R2

32

．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的綜合，安培力是聯(lián)系電磁感應(yīng)和力學(xué)的橋梁，安培力的分析和計(jì)算是這類問(wèn)題的關(guān)鍵．