Question

11．某同學(xué)欲探究圓錐擺的相關(guān)規(guī)律，他找來(lái)一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)線并測(cè)出其長(zhǎng)度L，把細(xì)線一端固定于O點(diǎn)，在O點(diǎn)處連一拉力傳感器（圖中未畫出 ），拉力傳感器可以感應(yīng)細(xì)線上的拉力，傳感器與計(jì)算機(jī)連接，在計(jì)算機(jī)上顯示出細(xì)線的拉力F，線的另一端連有一質(zhì)量為m的小球（可看做質(zhì)點(diǎn)），讓小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
①該同學(xué)探究發(fā)現(xiàn)圖中細(xì)線與豎直方向夾角θ和細(xì)線拉力F的關(guān)系是：細(xì)線拉力隨θ角增大而增大（填“增大”、“減小”或“不變”）
②該同學(xué)用細(xì)線拉力F、線長(zhǎng)L和小球質(zhì)量m得出了小球運(yùn)動(dòng)的角速度ω=$\sqrt{\frac{F}{mL}}$．
③該同學(xué)想進(jìn)一步探究θ與小球角速度ω的關(guān)系，他以$\frac{1}{cosθ}$為橫軸，以ω²為縱軸建立直角坐標(biāo)系，描點(diǎn)作圖得到一條直線，設(shè)直線的斜率為k，則當(dāng)?shù)刂亓�加速度的表達(dá)式為g=kL（用題目己知量表示）．

Answer 1

分析 小球在重力和拉力合力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，靠?jī)蓚�(gè)力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度，進(jìn)而求出角速度．

解答 解：（1）對(duì)小球，受力分析可知，小球受到重力和繩子的拉力，如圖：
據(jù)牛頓第二定律：
豎直方向：F_y-G=0    ①
水平方向：F_x=ma=mω²r   ②
又F_y=F．cosα      ③
F_x=F．sinα 　      ④
由①②③④，得：
F=$\frac{mg}{cosα}$   ⑤
所以細(xì)線拉力隨θ角增大而增大．
（2）又由：r=Lcosθ
ω=$\sqrt{\frac{F}{mL}}$   ⑥
（3）將⑤式代入⑥得：ω=$\sqrt{\frac{\frac{mg}{cosθ}}{mL}}=\sqrt{\frac{g}{Lcosθ}}$
該同學(xué)以$\frac{1}{cosθ}$為橫軸，以ω²為縱軸建立直角坐標(biāo)系，描點(diǎn)作圖得到一條直線，設(shè)直線的斜率為k，則斜率：k=$\frac{{ω}^{2}}{\frac{1}{cosθ}}=\frac{g}{Lcosθ}•cosθ=\frac{g}{L}$
所以當(dāng)?shù)刂亓�加速度的表達(dá)式為：g=kL
故答案為：①增大；②$\sqrt{\frac{F}{mL}}$；③kL

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．